是arctan2． 24. (2009闸北区) 如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，
OA?底面ABCD，OA?2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求四棱锥O?ABCD的体积； （Ⅱ）求异面直线OB与MD所成角的大小．
解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形ABCD的面积S?4，……………………………2分 所以，求棱锥O?ABCD的体积V?（Ⅱ）方法一（综合法）
设线段AC的中点为E，连接ME，
则?EMD为异面直线OC与MD所成的角（或其补角） ………………………………..1分 由已知，可得DE?BACDMO18?4?2? ………………………………………4分 332,EM?3,MD?5，
?(2)2?(3)2?(5)2
??DEM为直角三角形 …………………………………………………………….2分
?tan?EMD?DE?EM23， …………………………………………………………….4分
32． ??EMD?arctan3所以，异面直线OC与MD所成角的大小arctan方法二(向量法)
以AB,AD,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系，
则O(0,0,2),C(2,2,0),M(0,0,1),D(0,2,0), ………………………………………………2分
32． …………………..1分 3 16
OC?(2,2,?2)，
MD?(0,2,?1)， …………………………………………………………………………..2分
设异面直线OC与MD所成角为?，
cos??|OC?MD||OC|?|MD|?15．……………………………………3分 5 ∴OC与MD所成角的大小为arccos15．……………………………………………1分 5,AB?1，点E5、（2009东莞一模）如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AD?AA1?1在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为22. （1）求证：D1E⊥A1D； （2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角
D1?EC?D的大小为?4。若存在，确定
点E的位置；若不存在，请说明理由.
解一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在 平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1， ∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂线定理） 4分 （2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，
∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到 点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为
|AC1|?x2?4
如图乙的最短路程为
|AC1?(x?1)2?1??x?1
x2?2x?2
17
?x2?2x?2?x2?2?2?x2?4
?x2?4?22?x?2??????9分
（3）假设存在，平面DEC的法向量n1?(0,0,1)，D1C?(0,2,?1)
?z?2y设平面D1EC的法向量n2?(x,y,z)，则?x?(2?a)y
??n2?(2?a,1,2)???????12分
由题意得：cos?n1,n2??2(2?a)2?12?22?22
解得：a?2?3或a?2?3（舍去）
即当点E离B为3时，二面角D1?ED?D的大小为?4.???14分
2009年联考题
一、选择题
1.（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
1313a B．a 622353C．a D．a
36A．答案 D
18
2.（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a2,则左视图的面积为（ ）
A．2a2 B．a2
2aaa32C．3a D．a
4答案 C
3. （2009青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，
则组成此几何体的长方体木块块数共有( )
A．3块 B．4块 C．5块 D．6块 答案 B
4. （2009台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为角为60?的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ） A.23 B.43
C . 4
D. 8
3，且一个内2正视图 侧视图
答案 C
5. （2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( ) A．3 B．
俯视图
3?6 2 C．3?6 D．3?4r
答案 C
6. （2009天津河西区二模）如图所示，一个空间几何体的正 视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆， 那么这个几何体的表面积为( )
A．Z2? B．
5? 2 19
C．4? D．5? 答案 B
7. （2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右
图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A．9与13 B．7与10 C．10与16 D．10与15 答案 C
主视图
俯视图 8. （2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的
表面积是( )
俯视图
A. (20?42)cm2 B.21 cm C. (24?42)cm2 D. 24 cm 答案 A
9.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得几何体的表面积是( )
2 3
2 2 俯视图 主视图 左视图
2 主视图 左视图
2 1 2 20
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