高考导数的压轴题汇编(5)

所以 3n?1?2n?2（当且仅当n＝1时，等号成立）

3bn?1an?122?1??1? 所以.即. …………………………… 14分 3bn?1an?23n?12n?219、【解析】：（1） 当当

时时，

，函数，函数

，……………..…………………………………………..…1分

有一个零点； ……………..…………………………………………….…2分 有两个零点。…………..…………………………………………...…3分

（2）令则

，…………..………………………………………...4分

.…………………………..5分

，.……………………..…...6分

………….………...7分

在内必有一个实根。即，使

成立。……………………………………………………………………..……..…………8分 （3） 假设

存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，且

……9分

∴ …10分

由②知对,都有

令得………11分

由得， ………………………………………. 13分

当时，，其顶点为（－1，0）满足条件

①，又对,都有，满足条件②。

∴存在，使同时满足条件①、②。 …………………………… 14分 qg(x)?px??2lnx,x20、【解析】：（I）由题意

qqq又g(e)?pe??2,?pe??2?qe??2,eee11?(p?q)e?(p?q)?0,?(p?q)(e?)?0,ee1而e??0,?p?q.?????????????3分e （II）由（I）知：

pg(x)?px??2lnxxp2px2?2x?p

g?(x)?p?2??,xxx22

令h(x)=px－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）为单调函数，只需h(x)在（0，+∞）满足： h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.………………………………4分

①p?0时,h(x)??2x，

2x?x?0,?h(x)?0,?g?(x)??2?0,x∴g(x)在（0，+∞）单调递减，

∴p=0适合题意.………………………………………………5分

2

②当p>0时，h(x)=px－2x+p图象为开口向上抛物线， 称轴为x=1∈（0，+∞）.

p∴h(x)min=p－1.

p只需p－1≥0，即p≥1时h(x)≥0，g′(x) ≥0，

p∴g(x)在(0,+ ∞)单调递增，∴p≥1适合题意.…………………………7分

2

③当p<0时，h(x)=px－2x+p图象为开口向下的抛物线，

其对称轴为x=1?（0，+∞），

p只需h(0)≤0，即p≤0时h(0)≤（0,+ ∞)恒成立. ∴g′(x)<0 ，∴g(x)在（0,+ ∞）单调递减， ∴p<0适合题意.

综上①②③可得，p≥1或p≤0.……………………………………9分 （III）证明：①即证：lnx－x+1≤0 (x>0)，

设

11?x.

k(x)?lnx?x?1,则k?(x)??1?xx当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；

当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数； ∴x=1为k(x)的极大值点， ∴k(x)≤k(1)=0.

即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.………………………………11分 ②由①知lnx≤x－1,又x>0，

.

?lnxx?11??1?xxx

?n?N*,n?2时,令x?n2,得lnn21?1?.n2n2lnn11?2?(1?2),2nnln2ln3lnn1111?2?2???2?(1?2?1?2???1?2)223223n11111111?[(n?1)]?(2?2???2)]?[(n?1)?(????)]222?33?4n(n?1)23n1111111?[n?1?(???????)]22334nn?1111?[n?1?(?)]22n?12n2?n?1?4(n?1)∴结论成立.…………………………………………………………………………14分 21、【解析】：（1） a?1,f(x)在区间[1,3]上单调递增，即f(x)?[f(1),f(3)]， 所以，当x?[1,3]时，

4

m?n?f(3)?f(1)?3

因为函数为偶函数，所以当x?[?3,?1]时，

4

m?n?f(3)?f(1)?3 （2）

a当x?0时，f(x)?x?在(0,a]上单调递减，[a,??)上单调递增x若a?9，则a?3，所以函数f(x)在区间[1,3]上单调递减，即f(x)?[f(3),f(1)] 所以，当x?[1,3]时，

， 2m?n?f(1)?f(3)?a?23因为函数为偶函数，所以 当x?[?3,?1]时，

2m?n?f(1)?f(3)?a?23若a?1，即0?a?1，f(x)在区间[1,3]上单调递增， 即f(x)?[f(1),f(3)]， 所以，当x?[1,3]时，

2

m?n?f(3)?f(1)?2?a3因为f(1)?f(a) 若1?a?a?3，即1?a?3，当x?[1,3]时，

，

f(x)max?f(3),f(x)min?f(a)所以

am?n?f(3)?f(a)?3??2a3若1?a?3，即3?a?9，当x?[1,3]时，

，

f(x)max?f(1),f(x)min?f(a)所以

m?n?f(1)?f(a)?1?a?2a 综上所述，因为函数为偶函数，所以当x?[?3,?1]时，

?2a?2?3,0?a?1??3?a?2a,1?a?3?g(a)??3?1?a?2a,3?a?9??2a?2,a?9??3

（3） 当k?(1,2]时，0?k?cosx?3，0?k2?cos2x?4．

由（2）知，由a?16，f(x)在

(0,a]上是减函数， 故f(x)在(0，4)上是减函数 要使只要即设

f(k?cosx)?f(k2?cos2x)，x?R k?cosx?k2?cos2x(x?R)

cos2x?cosx?k2?k(x?R) ① 1?1?h(x)?cos2x?cosx??cosx???2?4?2，则函数h(x)在上的最大值为．

要使①式恒成立，必须k2?k?2，即k?2或k??1．

所以，在区间k?(1,2]上存在k?2，使得

f(k?cosx)≥f(k2?cos2x)对任意的

x?R恒成立．

0122rnn22、解答（1）f(x)?x2n?1[Cn?Cnx?Cnx?????Cn(?1)rxr????Cnx]

=x2n?1(1?x)n，……1分

f?(x)?(2n?1)x2n?2(1?x)n?x2n?1?n(1?x)=

x2n?2(1?x)n?1[2n?1?(3n?1)x]。……2分

令f?(x)?0

x1?0,x2?2n?1,x3?1，从而x1

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