2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练（二次函

2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练

二次函数

◆知识讲解

①一般地，如果y=ax+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．

②当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．

③二次函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：

2y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）+k，

2

2

通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－

b2a，

4ac?b4a2）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），?由于二

次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．

④二次函数y=ax+bx+c的对称轴为x=－

2

b2a，最值为

4ac?b4a2，（k>0时为最小值，

k<0时为最大值）．由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上，且y轴为对称轴即x=0．

⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“＋”，下“－”）平移k（k>0）个单位得到函数y=ax2±k，将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“＋”）平移h（h>0）个单位得到y=a（x±h）．?在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y?轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）．

⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．

⑦抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－

b2a2

的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－

4ac?b4a2b2a2的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=，顶点（－

b2a，

4ac?b4a）

为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－

b2a2b2a的左侧，y随x的增大而增大，在对称

4ac?b4a2轴x=－的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=，顶点（－，

4ac?b4a）为最高点．│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边

越靠近y轴，│a│越小，开口越大，?图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－即对称轴在y轴左侧，垂直于x轴负半轴，当a，b?异号时，对称轴x=－

b2ab2a<0，

>0，即对称轴

在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c?的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

◆例题解析

例1 已知：二次函数为y=x2－x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．

【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x轴的上方，?即顶点的纵坐标为正；（3）AB∥x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值． 【解答】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次项系数a=1>0，∴开口向上， 又∵y=x2－x+m=[x2－x+（ ∴对称轴是直线x=

1212）2]－

14+m=（x－

1212）2+

4m?14

，顶点坐标为（，

4m?14）．

（2）∵顶点在x轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即 ∴m> ∴m>

14144m?14>0

时，顶点在x轴上方．

（3）令x=0，则y=m．

即抛物线y=x2－x+m与y轴交点的坐标是A（0，m）．

∵AB∥x轴

∴B点的纵坐标为m．

当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1． ∴A（0，m），B（1，m）

在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│． ∵S△AOB = ∴

1212OA·AB=4．

│m│·1=4，∴m=±8

2

2

故所求二次函数的解析式为y=x－x+8或y=x－x－8．

【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c?的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．

例2 （2006，重庆市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC?把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

【分析】（1）解方程求出m，n的值． 用待定系数法求出b，c的值．

（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，?用割补法可求出△BCD的面积．

（3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能： ①EH=

32EP， ②EH=

23EP．

2

【解答】（1）解方程x－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由m

所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分

别代入y=－x+bx+c， 得???1?b?c?0,?c?52

解这个方程组，得?2

?b??4,?c?5

所以抛物线的解析式为y=－x－4x+5．

（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0． 解这个方程，得x1=－5，x2=1．

所以点C的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．

过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示． 则S△DMC= S梯形MDBO= S△BDC =

121212×9×（5－2）=

272．

×2×（9+5）=14，

252×5×5=．

272 所以S△BCD =S梯形MDBO+S△DMC －S△BOC =14+ （3）设P点的坐标为（a，0）

－

252=15．

因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．

那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=－x2+4x+5?的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）． 由题意，得①EH=

32EP，即

32 （－a2－4a+5）－（a+5）= 解这个方程，得a=－ ②EH=

2332（a+5）．

或a=－5（舍去）．

EP，得

32 （－a2－4a+5）－（a+5）= 解这个方程，得a=－ P点的坐标为（－

3223（a+5）．

或a=－5（舍去）．

23，0）或（－，0）．

m?122 例3 （2006，山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x－mx+

2

与y=x－mx－

2

m?222，

这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．

（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点； （2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x?值的增大而减小？

【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x－mx+

2

m?122．

由于b－4ac=（－m）－4×1×

2

m?122=－m－2<0，

2

所以此函数的图像与x轴没有交点． 对于关于x的二次函数y=x－mx－

2

m?222．

由于b－4ac=（－m）－4×1×

22

m?222=3m+4>0，

2

所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点． 故图像经过A，B两点的二次函数为y=x－mx－

2

m?222．

（2）将A（－1，0）代入y=x－mx－

2

m?222．

得1+m－

m?222=0．

整理，得m2－2m=0． 解得m=0或m=2．

当m=0时，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0． 解这个方程，得x1=－1，x2=1． 此时，点B的坐标是B（1，0）．

当m=2时，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0． 解这个方程，得x1=1，x2=3． 此时，点B的坐标是B（3，0）．

（3）当m=0时，二次函数为y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，

所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小．

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