(14)双曲线及其标准方程

2.3.1 双曲线及其标准方程导学案

一、学法指导

1、通过导学案探究新知，大胆质疑，积极思考，寻求答案。体会数学知识的发现与形成。

2、独立思考、认真完成，部分难点可以和学习小组的同学交流探讨，共同完成。 二、学习目标

1．理解双曲线的定义。了解并建立双曲线的标准方程，确定双曲线的标准方程。 2．重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养。 三、教学重点、难点

重点：双曲线的定义及其标准方程。

难点：双曲线标准方程的建立过程及推导。 【复习】

1、什么叫椭圆?

2、椭圆的标准方程有哪两种形式?其中的a,b,c的关系式是什么?

【新知探究】

探究一、平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于非零常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。思考平面内这平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹又是什么曲线？

利用课件来演示得到满足这样条件的曲线：点M到两定点F1和F2的距离之差为常数，记为2a，F1F2=2c M M F1 F2 FF2 1 |MF1|-|MF2|=—2a |MF1|-|MF2|=2a

类比椭圆的定义，得出双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数2a（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，等于2c．

0?2a?2c?|F1F2|） 数学简记：||MF1|?|MF2||?2a（

注意：

当 2a=0时，轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 当2a﹤2c时，轨迹是双曲线 当2a﹥2c时， 轨迹不存在

思考：双曲线定义中的关键词“绝对值”能否去掉，去掉后结果怎样？ 定义中“差的绝对值”中“绝对值”去掉，点的轨迹为双曲线的一支.当

|MF1|?|MF2|?2a时，曲线仅表示与焦点F2所对应的一支；|MF1|?|MF2|??2a时，曲线仅表示与焦点F1所对应的一支.

探究二、类比椭圆标准方程的建立及推导过程，试推导双曲线的标准方程？

第一步：建立直角坐标系；以两定点F1、F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立坐标系.

),c第二步：设点：设动点M(x,y)是双曲线上任意一点，设|F1F2|?2c，则F1(?0又设M与F1、F2的距离的差的绝对值等于2a.

第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集： P??MMF1?MF2??2a?；

第四步：建立方程：(x?c)2?y2?(x?c)2?y2??2a 第五步：化简，?(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a

?(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?4a(x?c)2?y2?4a2 ?cx?a2??a(x?c)2?y2 ?(cx?a2)2?a2[(x?c)2?y2] ?(c2?a2)x2?a2y2?a2(c2?a2)，

x2y2令c?a?b（b?0），得bx?ay?ab，即2?2?1

ab2x2y得到2?2?1(a?0,b?0)

ab我们得到了焦点在x轴上，且焦点是F1(?c,0)和F2(c,0)的双曲线标准方程为

222，F2(c,0)，

yMF1OF2x222222x2a2?y2b2?1(a?0,b?0)，这里c2?a?b22

同理：以F1F2所在的直线为y轴，F1F2的中垂线为x轴建系，那么得到焦点在y轴上即

F1(0,?c)，F2(0,c)为焦点的双曲线标准方程为

y2x2?2?1（其中2abc?a?b

222，a?0，b?0）.

双曲线标准方程左边的两项用 号连接，这点与椭圆有什么不同？

双曲线a,b,c的关系： ，而椭圆标准方程中a,b,c的关系是： 。

思考：怎么样判断双曲线的焦点在那个轴上？

2提示：双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x项的系数是正的，那么焦点在 （ ）轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在（ ）轴上。

【例1】：判断下列双曲线的焦点位置

x2y2y2x2

（1）－＝1 （2）－＝1

25242524

【总结】椭圆与双曲线标准方程的区别？ 名 称 椭 圆 y双 曲 线 y 图 象 OxOx 平面内到两定点F1,F2的距离的和 为常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫 定 义 椭圆。即MF 1?MF2?2a 标准方 程 常数 平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线。即MF1?MF2?2a x2y2焦点在x轴上时： 2?2?1 aby2x2焦点在y轴上时：2?2?1 ab注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 222x2y2焦点在x轴上时：2?2?1 aby2x2焦点在y轴上时：2?2?1 ab注：是根据项的正负来判断焦点所 在的位置 222 a?c?b（符合勾股定理的结构） c?a?b（符合勾股定理的结构） a,b,ca?b?0， c?a?0 的关 a最大，c?b,c?b,c?b 系 c最大，可以a?b,a?b,a?b 【自测题目】

1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，a?4，b?3.

（2）焦点在x轴上，经过点(?2,?3)，(15,2). 3

（3）焦点为(0,?6)，(0,6)，且经过点(2,?5).

【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为F1(?5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

【变式】已知两个定点的坐标为F1（0,5）、F2(0,-5)，动点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于4，求P点的轨迹方程。

x2y2（5,0）【例3】双曲线??1上一点p到焦点的距离为15，那么该点到另一个焦点

169（-5,0）的距离为多少？

22【变式1】双曲线 4x?y?64?0 上一点P到它的一个焦点的距离等于1，求点P到另一个焦点的距离.

x2y2（?10,0）【变式2】双曲线??1上一点P到焦点的距离为17，那么该点到另一个焦

6436（-10,0）点的距离为多少？

课后练习：1.、填表

名称 双曲线 定义 图形 标准方程 焦点坐标 a，b，c的关系 焦点位置的判断

2、求适合下列条件的双曲线的标准方程。 （1）焦点在在y轴上，a?5,b?4；

（2)焦点为F1(-3，0)、F2(3，0)，且过点（2，0）

x2y2??1，表示焦点在x轴上的双曲线，求m的范围。 3、如果方程

m?2m?1

4．满足条件a＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为______． 5．求c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上的双曲线方程．

1．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( ) x2y2

A.－＝1 2524

x2y2y2x2

C．－＝1或－＝1

25242524

y2x2

B.－＝1 2524

x2y2y2x2

D.－＝0或－＝0 25242524

6．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这曲线是( )

A．双曲线，焦点在x轴上 C．椭圆，焦点在x轴上

B．双曲线，焦点在y轴上 D．椭圆，焦点在y轴上

x2y2

7．双曲线－＝1上的点P到点(5,0)的距离是15，则P到(－5,0)的距离是( )

169

A．7 B．23 C．5或25

D．7或23

x2y2

5．已知双曲线－＝1的一个焦点为F(0,2)，则m的值是________．

m3m

8. 双曲线2x2-y2=8的一点P到其中一个焦点的距离为10，则P到另外一个焦点的距离为_______

x2y29.已知双曲线方程?=1，那么它的焦距为______

20510.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为（0，3），那么k的值为___

x2y211、双曲线??1的焦点坐标是__________

91612．已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)．求以F1，F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

13．求适合下列条件的双曲线方程．

(1)a＝4，c＝5，焦点在x轴上； 4 10?

(2)a＝4，经过点A?1，.

3??

x2y214.求以椭圆+=1的顶点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线

169

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