数学选修2-3复习(含知识点与习题)(3)

（II）?1?1?2?4,P(x?4)?13,?1?1?3?1?2?2?5,P(x?5)? 1020 ∴线路通过信息量的数学期望

131131?5??6??7??8??9??6.5 10204420103答：（I）线路信息畅通的概率是 （II）线路通过信息量的数学期望是6.5

41336 三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,将它们中

244 ?4?某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路

（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？ （Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由

解：记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3，则

133,P(A2)?,P(A3)?. 244（Ⅰ）不发生故障的事件为(A2?A3)A1 P(A1)?∴不发生故障的概率为

P1?P[(A2?A3)A1]?P(A1?A3)?P(A1)?[1?P(A2)?P(A3)]?P(A1)11115?[1??]??44232（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大 证明如下： 图1中发生故障事件为(A1?A2)A3∴不发生故障概率为

P2?P[(A1?A2)A3]?P(A1?A2)?P(A3)?[1?P(A1)?P(A2)]P(A3)?图2不发生故障事件为(A1?A3)A2，同理不发生故障概率为P3?P2?P1

21?P2?P1 327 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们 的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：

（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率

解：设事件A?“从甲机床抽得的一件是废品”；B?“从乙机床抽得的一件是废品” 则P(A)?0.05,P(B)?0.1 （1）至少有一件废品的概率

P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)

?1?0.95?0.90?0.145（2）至多有一件废品的概率

P?P(A?B?A?B?A?B)

?0.05?0.9?0.95?0.1?0.95?0.9?0.9958 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数?的数学期望和方差

解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A,B

北大校区：59799785 牡丹园校区：59798562 人大校区：59799892 学院路校区：59799544 设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2

则P(A)?P1?0.6,P(B)?P2

P(A?B)?1?P(A?B)?1?(1?P1)(1?P2)?P1?P2?PP12?0.92?0.6?P2?0.6P2?0.92则0.4P2?0.32即P2?0.8(2)P(??0)?P(A)?P(B)?0.4?0.2?0.08P(??1)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.2?0.4?0.8?0.44P(??2)?P(A)?P(B)?0.6?0.8?0.48

?的概率分布为:? 0 1 0.08 0.44 P E??0?0.08?1?0.44?2?0.48?0.44?0.96?1.42 0.48 D??(0?1.4)2?0.08?(1?1.4)2?0.44?(2?1.4)2?0.48

?0.1568?0.0704?0.1728?0.4或利用D??E(?2)?(E?)2?2.36?1.96?0.49 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？

解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以? 表示公司每年的收益额，则?是一个随机变量，其分布列为：

? x x?a p 1?p P 因此，公司每年收益的期望值为E??x(1?p)?(x?a)p?x?ap

为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E??0.1a，即x?ap?0.1a，

故可得x?a(p?0.1)

即顾客交的保险金为 a(p?0.1)时，可使公司期望获益0.1a

10 有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂 已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2 （1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；

(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)

1解：(1)这批食品不能出厂的概率是： P?1?0.85?C5?0.84?0.2?0.263

(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：

13 P?C?0.2?0.8?0.8 1413 P 2?C4?0.2?0.8?0.2

1

3

五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：

由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P?P1?P2?C4?0.2?0.8?0.4096

北大校区：59799785 牡丹园校区：59798562 人大校区：59799892 学院路校区：59799544 11 高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，

不得参加两盘单打比赛 已知每盘比赛双方胜出的概率均为.

12 （Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？ （Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？

2解：（I）参加单打的队员有A3种方法

1 参加双打的队员有C2种方法

21 所以，高三（1）班出场阵容共有A3?C2?12（种）

（II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘

胜，

111113?????. 22222812 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率 (1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球

解： （Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A,B，则

所以，连胜两盘的概率为

1C52?C323C52?C33 P(A)? ?,P(B)??77C84C84 ∵A,B为两个互斥事件 ∴P(A?B)?P(A)?P(B)? 即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为 （Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C，则

6 76 7C541 P(C)?4?至少摸出一个黑球为事件C的对立事件

C814113? 其概率为1? 1414四、练习

1.（2010广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种

113CCA?24；若小张、小赵都入选，则有选

【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法22322AA3?12，共有选法36种，选A. 2法

2.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C

北大校区：59799785 牡丹园校区：59798562 人大校区：59799892 学院路校区：59799544 .w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考

查.

1A?2种排法， 22和4排在末位时，共有

3A?4?3?2?24种排法， 4其余三位数从余下的四个数中任取三个有

于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有2?24?48（个）.故选C.

3．（2010北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A．324 B．328 C．360 D．648 【答案】B

【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、

基本运算的考查.

2A?9?8?72（个）， 9 首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有

111A?A?A?4?8?8?256（个），

当0不排在末位时，有488 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72?256?328（个）.故选B. 4.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

（A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种 答案：C

解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数

C4C4=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为C4=6，故只恰好有1门相同

的选法有24种 。

5.（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种

112C?C?C?225种选法; 536解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有

211C?C?C?120种选法.故共有345种选法.选D 562 (2) 乙组中选出一名女生有

2226.(2010湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，

且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 【答案】C

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C4，顺序有A3种，而甲

3233ACA?A?30 3433乙被分在同一个班的有种，所以种数是

7.（2010四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生

中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B

23A.18 B.24 C.30 D.36

北大校区：59799785 牡丹园校区：59798562 人大校区：59799892 学院路校区：59799544 22CA?6种不同排法），

【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有32剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

22CA2?6种不同排3解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有

法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：

226A第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有2A2=24种排法；

第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有

26A2＝12种排法

第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。

26A此时共有2＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。

8. （2009全国卷Ⅱ理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有

A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种

222C?C?C?30种. 故选C 444解：用间接法即可.

9.（2010辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中

男、女医生都有，则不同的组队方案共有

（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种

【解析】直接法：一男两女,有C51C42＝5×6＝30种,两男一女,有C52C41＝10×4＝40种,共计70种

间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有C53＝10种,都是女医生有C41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 【答案】A

10.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有

A.120种 B.96种 C.60种 D.48种 【答案】C

4121CCCC5431【解析】5人中选4人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故

412CCC543共有××=60种,故选C

11.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A．14 B．16 C．20 D．48

321C?C?C?20?4?16，故选B. 624解:由间接法得

12.（2010全国卷Ⅰ文）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

北大校区：59799785 牡丹园校区：59798562 人大校区：59799892 学院路校区：59799544

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库数学选修2-3复习(含知识点与习题)(3)在线全文阅读。