统计力学习题精选(6)

?T???0 ??T?2KT2?C?

???????2?KT?????

?0????T

26．证明：在体积V内，在?到??d?的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

132?V2D(?)d??3??2m??2d?。 h

（习题6.1）标准答案：

P2∵??

2mVP2sin?dPd?d? dn(P,?,?)? （1）

h31?222P?(2m?)进行变量代换：，dP?(2m)??d?

2111代入（1）式

11V2m?sin???2d?d?d???2m?22dn(?,?,?)? h31对?,?积分

dn????1?2?mV122?d?sin?d?d??(2m) 3??00h132?V?3??2m?2?2d??D(?)d? 证毕。 h

27．试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在?到??d?的能量范围内，量子态数为

统计力学试题 ( 第页 共4页 )

26

2Lm2D(?)d??()d?。

h2?

（习题6.2）标准答案：一维自由粒子 P?12??n， LP22?2?22?n??n （1）

2mmL2除n?0外，?n是二度简并的：f?2

dn?Ldp 2??1?112进行变量代换P?(2m?)，dP?(2m)?2d?

221考虑到n＞0的能级简并度：f?2

?12L?m?2L122dn(?)?D(?)d???f?(2m)??d????d?

h?2??2??22

证明原式成立，证毕。（???0，?由（1）式，有n＞0）

11

228．试证明,对于二维自由粒子,在面积L内,在?到??d?的能量范围内,量子态数为

2?L2D(?)d??2md?。

h

（习题6.3）标准答案：?二维自由粒子

?11P?2m?，P?(2m?)2，dP?(2m?)2??2d?用极坐标，面元为：pdpd?

2211L2L2dn(p,?)?2pdpd??2dp2d?

h2hL2?2md?d? 把P变为?：dn(?,?)?2h2 统计力学试题 ( 第页 共4页 )

27

2?L2md? 对?积分：?dn(?)?D(?)d??2h证明了原式成立。证毕。

29．在极端相对论情况下，??cp。试求在体积V内，在?到??d?的能量范围内三维粒子的量子态数。

（习题6.4）标准答案：

解：自由粒子处在体积V中，又处在P-P+dP球壳中的量子态数：

V4?P2dpdn(p)? （1）

h3用变量代换p??C，dp?d?，代入上式： C4?V?2d?dn(?)?D(?)d??。

h3C3答：粒子处在????d?能量范围内的三维粒子的量子态数为：

4?V?2d?D(?)d?? 33hC

30．试根据公式P???all??l证明，对于非相对论粒子?V2Up212??2222.上述结论对???()(nx?ny?nz)(nx,ny,nz?0,?1,?2,...)，有P?3V2m2mL于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。

（习题7.1）标准答案：

证明：?V?L，则L?V2313

h2?3222V(nx?ny?nz) ∴?l?2m 统计力学试题 ( 第页 共4页 )

28

由P???a?????，考虑U??al?l，则 ?V5????2h2223(nx?n2?nP???a???a?Vyz) 2m?V3???212U??a???? 3V?3V2U?成立。证毕。 3V∴ P?

31．试根据公式p???all??l证明，对于相对论粒子?V11U2??2222.上述结论对于玻??cp?c(nx?ny?nz)(nx,ny,nz?0,?1,?2,...),有P?3VL耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。

（习题7.2）标准答案：对极端相对论粒子

22???C(n2?n?nxyz)hL12?ChV13(n?n?n)2

2x2y2z1由P???a?????，考虑U??al?l，则 ?V1???1Ch222P???a???a?4(nx?ny?nz)2

?V3??V3?11Ua?????3?V 3V?1U?成立。证毕。 3V∴P?

32．气体以恒定的速度沿z轴方向作整体运动，试证明，在平衡态下分子动量的最概然分布为：

统计力学试题 ( 第页 共4页 )

29

a?e????P2m?222x?Py?(Pz?Po)?Vdpxdpydpz?h3

（习题7.8）证明：∵我们推导的分子动量的最概然分布是在系统的静止坐标系中进行的。所以我们在系统上固着一坐标系0'?x'y'z?，则分子的最概然分布为

a?e????P2m?222x'?Py'?Pz'?Vdpx?dpy?dpz??h3 （1）

??现在我们在静止坐标系上观察，气体以恒定速度vo?vok沿z轴作整体运动。令p0?mv0

则px?px'?mvx'

py?py'?mvy'

pz?mvz?m(vz??vo)?pz??po (2)

'∴pz?pz?po

两坐标系下动量的微分相等，

dpz??dpz,dpy?dpy',dpx?dpx'

将（2）式中各量代入（1）式，得分子在静止坐标系中的最概然分布为：

a?e????P2m?222x?Py?(Pz?Po)?Vdpxdpydpz?h3

∴原式成立。证毕。

33．气体以恒定速度v0沿着z轴方向作整体运动，求分子的平均平动能量。

（习题7.9）解：由7.8题知，当气体以恒定速度以vo沿z轴方向作整体运动时分子动量的最概然分布

a?e????2m?P222x?Py?(Pz?Po)?Vdpxdpydpz?h3

满足总分子数为N的守恒条件

统计力学试题 ( 第页 共4页 )

30

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