统计力学习题精选(3)

L?T(S2?S1) 有?U?L?PdPPdP?L(1?) dTTdT若一相为气体（第二相），则V?V2??V1 若气体可视为理想气体，则PV?RT 所以?U?L?

3．（1）利用欧拉齐次函数定理证明 G?PTVRT?L(1?) TLL?n?iii

式中G为系统吉布斯函数，?i是第 i个组员的化学势，ni 是第 i个组员的摩尔数。 （2）由此证明

?nii??i?0 ?ni参考答案：（1）根据欧拉齐次函数定理，若f(x1,x2,....)为xi(i?1,2,.....)的n次齐次式，则

nf??xii?f ?xiG为系统各组分摩尔数 ni的一次齐次式，所以

?GG??nini,?i?()T,P,nj?i?nii（2）

式中

?i 为第i个组分的化学势。

??j??i?2G?2G????nj?nj?ni?ni?nj?ni?njj??j??j??j?(ni?j)??i??G??nj?ni??nj???i?(?nj?j)??i???i?nj?ni?ni?ni?ni?nii?nij?ij?i??i??i?0

4．试证明，单位时间碰到单位面积器壁上的，理想气体中速率介于v到v?dv

m之间的分子数为： m3/2?2kTv23)evdv dN??n(

2?kT 统计力学试题 ( 第页 共4页 )

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5．（1）简述焦耳-汤母孙多孔塞实验的主要内容。 （2）写出焦耳-汤母孙系数 的定义式。

?V( （3）证明???P?P)T?T()V?T?T

?PCP()T?T参考答案：（1）焦耳-汤姆孙多孔塞实验是在一装有多孔塞的管道中，让气体由一端经过多

孔塞流入另一端，观察气体温度随压强的变化。 （2）??(?T)H ?P?V)PdP和焓的微分表达式dH?TdS?VdP ?T （3）由TdS方程TdS?CPdT?T(有dH?CPdT?[V?T(对等焓过程知??(?V)P]dP ?T?P1?V)H?[T()P?V] ?TCP?T 利用三轮换关系，既有

?V(

???P?P)T?T()V?T?T

?PCP()T?T

6．一块晶体包含

个原子，原子的自旋磁矩为

，被置于均匀磁场

中，这

些原子可取三个取向：平行、垂直和反平行磁场。 求（a）晶体的配分函数 （b）晶体的磁矩

（c）高温弱场和低温强场的磁矩

参考答案：（a）将原子在外场中能量看作是内能一部分，晶体配分函数为：

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Z?(Z1)N?(?e??El)N?(e???0H?e0?e??0H)Nl?(e???0H?1?e??0H)N(1)

x???0H??0HkBTZ?(e?x?1?ex)N(2)?(2chx?1)N（b）从热力学方程

dU?Tds?HdM?dU*?d(U?HM)?Tds?MdH ?dF*??sdT?MdH晶体磁矩：

M???F*?H?k?lnZ?ln(2chx?1)NBT?H?kBT?H?Nk?ln(2chx?1)BT?H?2Nshx?02chx?1?N?0(ex?e?x)e?x?1?ex(3)（c）高温弱场时即x??0HkBT??1晶体磁矩M按（3）式子求极限：

M?N?0(1?x?1?x)1?1?x?1?x?23N?0x?2N??0H2N?2 0H30k?BT3kBT当低温强场时x??0HkBT??1，

此时M?N?0(1?e?2x)e?2x?1?e?x?N?0 统计力学试题 ( 第页 共4页 )

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2AT?Bpα?7．对某固体进行测量得， kT?VBTV， 其中A，B为常数，求该固体的物

态方程。

?V1?V2AT?BP???????参考答案：V?TpV?T?P?2AT?BP ①

1?V??P?T??T??VBTVV?????PT???? ②

设：V≡V(P、T)

法一：由①保持P不变，分离变量积分得

V=dV????2AT?BP?dT?AT2?BPT?f(p) （﹡）

保持T不变，上式对P求偏导，得

df?p?df(p)?V????BT???BT? ?PTdpdp?0?f(p)?C.

代入（﹡）式得 V=AT-BPT+C。

法二：由②保持T不变，分离变量积分得 V=

2

?dv???BTdp??BTP?f(T) （﹡）

保持P不变，上式对T求偏导得 ?v ?pp???T?df??BP?dfdT?2AT?BP?dT?2AT?f?AT2?c

2

代入（﹡）式得 V=-BTP+ AT+C

8．铜棒的一端与127℃的无穷大热源接触，另一端与27℃的无穷大热源接触。当棒在稳定导热时，传导的热量为5016J，试求：棒和热源的总熵变。

参考答案：

?S??S棒??S源1??S源2

?S棒?0

?1?S源1??5016J?K 400

?S源2?5016300J?K?1

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5016??S?0?400?5016300

?1?150.161J?K?1?50.16?(1?)?J?K?4.18J?K 34129．平衡热辐射是由光子组成的理想玻色气体，试计算其ln?(其中?为巨配分函数)，并进而计算内能和压强。

10．1mol理想气体分别通过下述三个可逆过程 (1) 先通过等压过程再通过等温过程； (2) 先通过等容过程再通过等温过程； (3) 先通过等温过程再通过绝热过程。

从相同的初态(T1,V1)到相同的未态(T2,V2)，求体系的熵的变化。

标准答案：

P

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