数学二历年考研试题
（C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点. ??
（9）
nlim??lnn(1?1n)2(1?2n)2?(1?nn)2等于
（A）
?221ln2xdx. （B）2?1lnxdx.
（C）2?2?x)dx. （D）?21ln(11ln2(1?x)dx ??（10）设函数
f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得
（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）
f(x)在(??,0)内单调减小.
（C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).
（D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0). ??
（11）微分方程
y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为
（A）y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx). （B）y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). （C）y??ax2?bx?c?Asinx.
（D）
y??ax2?bx?c?Acosx
??
（12）设函数
f(u)连续, 区域D??(x,y)x2?y2?2y?, 则??f(xy)dxdy等于
D（A）
?11?x2?1dx??1?x2f(xy)dy. （B）2?22y?y20dy?0f(xy)dx.
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数学二历年考研试题
（C）（D）（13）设
?0?d??2sin?02sin?0f(r2sin?cos?)dr.
f(r2sin?cos?)rdr ??0?d???
A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足
AQ?C的可逆矩阵Q为
?010??010?????（A）100. （B）101.
?????101??001??????010??011?????（C）100. （D）100. ??????011??001?????（14）设
?
A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有
（A）（B）（C）（D）
A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. ??
三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
（15）（本题满分10分）
1求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.
3??????（16）（本题满分10分） 设函数
f(x)在（??,??）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都满足
f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.
(Ⅰ)写出
f(x)在[?2,0]上的表达式;
(Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导.
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数学二历年考研试题
（17）（本题满分11分）
x?x?2设
f(x)??sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以?为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域.
（18）（本题满分12分）
ex?e?x曲线y?2与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得
一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).
(Ⅰ)求
S(t)S(t)的值; (Ⅱ)计算极限lim.
t???F(t)V(t)2（19）（本题满分12分）设e?a?b?e, 证明ln（20）（本题满分11分）
2b?ln2a?4(b?a). 2e某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
注 kg表示千克,km/h表示千米/小时.
（21）（本题满分10分）设z?f(x?y,e),其中
22xy?z?z?2zf具有连续二阶偏导数,求,,?x?y?x?y.
（22）（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组
?(1?a)x1?x2?x3?x4?0,?2x?(2?a)x?2x?2x?0,?1234试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解. ?3x?3x?(3?a)x?3x?0,234?1??4x1?4x2?4x3?(4?a)x4?0,（23）（本题满分9分）
?12?3???设矩阵?14?3的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化.
???1a5???
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数学二历年考研试题
2003年考研数学（二）真题
二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） 若x?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，则a= .
x?y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .
214（2） 设函数y=f(x)由方程xy?2ln（3）
y?2x的麦克劳林公式中xn项的系数是__________.
?ea?(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围
（4） 设曲线的极坐标方程为?成的图形的面积为__________.
?1?11???，则 TT?1（5） 设?为3维列向量，?是?的转置. 若????11????1?11???T?= .
A2B?A?B?E，其中
?101???，则
20为三阶单位矩阵，若A?0?????201??（6） 设三阶方阵A,B满足E
B?________.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且lim(A)
n??an?0,limbn?1,limcn??,则必有
n??n??an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.
n??(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ ]
n??3n?11?xndx, 则极限limnan等于 （2）设an??n?1xn??20 (A)
(C)
n(1?e)?1. (B) (1?e)?1.
(1?e)?1. (D) (1?e)?1. [ ]
3?1232323?12 39
数学二历年考研试题
（3）已知
y?xlnx是微分方程y??yx??(xxy)的解，则?(y)的表达式为
22 （A）
?yx (B) y2. x2.
(C)
?x2x2y2. (D) y2. [ ]
（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有
(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]
y
O x ??（5）设I1??4tanx0xdx,Ix2??40tanxdx, 则
(A) I1?I2?1. (B) 1?I1?I2.
(C)
I2?I1?1. (D) 1?I2?I1. [ ]
（6）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关.
(C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关.
[ ]
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