研究生入学考试数学二历年真题汇编(2003—2013)(4)

数学二历年考研试题

?C?.??03A*?2A*??2B*0?

??D?.??0?3B*0? ??100（8）设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=???010?，若

???002??P=（?，?T1，?23），Q=（?1+?2，?2，?3），则QAQ为（ ）

?210??110??A?.??110?

?B?.??120??002? ????? ?002???200??100??C?.??010?

??D?.??020??002? ????002? ??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

?1-t（9）曲线??x=?0e?u2du在（0，0）处的切线方程为 ??y?t2ln(2?t2)（10）已知

?+?kx??edx?1,则k?

（11）lim1?xn???0esinnxdx?

（12）设y?y(x)是由方程xy?ey?x?1确定的隐函数，则

d2ydx2x=0= （13）函数

y?x2x在区间?0，1?上的最小值为 ?200?(14)设?，?为3维列向量，?T为?的转置，若矩阵??T相似于??000?，则?T?= ??000???

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数学二历年考研试题

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1?cosx??x?ln(1?tanx)??（15）（本题满分9分）求极限lim

x?0sin4x（16）（本题满分10 分）计算不定积分

?ln(1?1?x)dx (x?0) x?2z f具有2阶连续偏导数，求dz与

?x?y（17）（本题满分10分）设z（18）（本题满分10分） 设非负函数

?f?x?y,x?y,xy?，其中

y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线

x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

（19）（本题满分10分）求二重积分

2???x?y?dxdy，

D其中D???x,y??x?1???y?1?2?2,y?x?

（20）（本题满分12分） 设

内过（-（-?，?）y?y(x)是区间

?的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点处的法线都过，）22?原点，当0?x??时，函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式

（21）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数

f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则存在???a,b?，使得

f?b??f?a??f?????b?a?（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且

x?0lim?f??x??A，则f???0?存在，且f???0??A。

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数学二历年考研试题

?1?1?1???1?（22）（本题满分11分）设A????111?，???1?1??4?2??????

?0??2??（Ⅰ）求满足A?2??21,A?3??1的所有向量?2,?3

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。

（23）（本题满分11分）设二次型f?x2x21,x2,x3??ax21?ax2??a?1?3?2x1x3?2x2x3（Ⅰ）求二次型

f的矩阵的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型f的规范形为

y2y21?2，求a的值。

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数学二历年考研试题

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设

f(x)?x2(x?1)(x?2)，则f'(x)的零点个数为（ ）

?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3

y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分?aft(x)dx（ ）

0a（2）曲线方程为

?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.

（3）在下列微分方程中，以

y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（ ）

?A??C?y'''?y''?4y'?4y?0 y'''?y''?4y'?4y?0

?B?y'''?y''?4y'?4y?0

?D?y'''?y''?4y'?4y?0

（5）设函数

f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）

?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.

（6）设函数

?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.

dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则

f连续，若F(u,v)???Duvf(x2?y2)x2?y2?F? ?u?A?vf(u2) ?C?vf(u)

vf(u2) uv?D?f(u)

u?B?19

数学二历年考研试题 （7）设

A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3?0，则（ ）

?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.

（8）设

?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆.

?12?A???，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ）

?21?

?A????21??.

1?2???B???2?1??.

?12???21?C????.

?12?

?1?2?D????.

??21?二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数

f(x)连续，且limx?02?x1?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1，则f(0)?____.

（10）微分方程(y?x（11）曲线sine)dx?xdy?0的通解是y?____.

?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.

23（12）曲线

y?(x?5)x?y?????x?xy的拐点坐标为______.

（13）设z，则

?z?x(1,2)?____.

（14）设3阶矩阵

A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.

三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

sinx?sin?sinx??sinx???(15)（本题满分9分）求极限limx?0x4

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