直线和圆的方程十年高考数学真题分类解析(3)

32.答案：2

解析：圆心到直线的距离d＝

|3?4?8|5＝3

∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2 33.答案：2

2

解法一：∵点P在直线3x+4y+8=0上.如图7—9. ∴设P（x，?2?S四边形PACB＝2S△PAC ＝22

34 x），C点坐标为（1，1），

图7—9 122|AP|2|AC|＝|AP|2|AC|＝|AP|

∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1

∴当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小． ∴|PC|＝（1－x）＋（1＋2＋

2

2

34x）＝

2

2516x?252x?10?(54x?1)?9

2∴|PC|min＝3 ∴四边形PACB面积的最小值为2

2．

解法二：由法一知需求|PC|最小值，即求C到直线3x+4y+8=0的距离，∵C（1，1），∴|PC|=

|3?4?8|543

=3，SPACD=22.

34.答案：

解法一：圆的圆心为（0，1）

设切线的方程为y＝k（x＋2）.如图7—10. ∴kx＋2k－y＝0 ∴圆心到直线的距离为

|2k?1|k?12＝1

∴解得k＝

43或k＝0，

图7—10 ∴两切线交角的正切值为

43．

解法二：设两切线的交角为α

20

∵tan

?2?122tan，∴tanα＝

?221?tan?2?11?14?43．

35.答案：

43

解析：圆的圆心为（－1，0），如图7—11. 当斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2 ∴kx－y＋2＝0 ∴圆心到切线的距离为

图7—11 |?k?2|k?12＝1 ∴k＝

34，

即tanα＝

34

当斜率不存在时，直线x＝0是圆的切线 又∵两切线的夹角为∠α的余角 ∴两切线夹角的正切值为

43

36.答案：F1（a，b）≠0，或F2（a，b）≠0，或F1（a，b）≠0且F2（a，b）≠0或C1∩C2=?或P?C1等

解析：点P（a，b）?C1∩C2，则

可能点P不在曲线C1上； 可能点P不在曲线C2上；

可能点P既不在曲线C1上也不在曲线C2上； 可能曲线C1与曲线C2不存在交点.

37.答案：可得两圆对称轴的方程2（c－a）x+2（d－b）y+a2+b2－c2－d2=0 解析：设圆方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2 ①

（x－c）2＋（y－d）2＝r2 ② （a≠c或b≠d），则由①－②，得两圆的对称轴方程为：

（x－a）2－（x－c）2+（y－b）2－（y－d）2=0，

2222

即2（c－a）x+2（d－b）y+a+b－c－d=0.

评述：本题考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和推广数学命题的能力. 38.答案：（x－1）+（y－1）=1 解析一：设所求圆心为（a，b），半径为r. 由已知，得a=b，r=|b|=|a|.

∴所求方程为（x－a）2+（y－a）2=a2

又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－a）+a=a，∴a=b=r=1. 故所求圆的方程为：（x－1）2+（y－1）2=1. 解析二：因为直线y=x与x轴夹角为45°.

又圆与x轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r=1.

评述：本题考查圆的方程等基础知识，要注意利用几何图形的性质，迅速得到结果. 39.答案：3或7

20

2

2

2

2

2

解析：当两圆外切时，r=3，两圆内切时r=7，所以r的值是3或7．

评述：本题考查集合的知识和两圆的位置关系，要特别注意集合代表元素的意义.

40.答案：x+y－4=0

解析一：已知圆的方程为（x－2）2+y2=9，可知圆心C的坐标是（2，0），又知AB弦的中点是P（3，1），所以kCP=

1?03?2=1，而AB垂直CP，所以kAB=－1.故直线AB的方程是x+y－4=0.

解析二：设所求直线方程为y－1=k（x－3）.代入圆的方程，得关于x的二次方程： （1+k2）x2－（6k2－2k+4）x+9k2－6k－4=0，由韦达定理：x1+x2=

6k?2k?41?k22=6，解得k=1.

解析三：设所求直线与圆交于A、B两点，其坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有

2① ?(x?2)?y1?9?1 ?22② ??(x2?2)?y2?9②－①得（x2+x1－4）（x2－x1）+（y2－y1）（y2+y1）=0 又AB的中点坐标为（3，1），∴x1+x2=6，y1+y2=2.

2∴

y2?y1x2?x1=－1，即AB的斜率为－1，故所求方程为x+y－4=0.

评述：本题考查直线的方程与圆的有关知识.要特别注意圆所特有的几何性质. 41.答案：（x+2）2+（y－3）2=4

解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x+2）2+（y－3）2=4.

42.解：设动点P的坐标为P（x，y）

由

|PA||PB|=a（a>0），得

(x?c)?y(x?c)?y2222=a，化简，

得：（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0. 当a≠1时，得x+

22

2c(1?a)1?a22x+c2+y2=0.整理，

得：（x－

1?a2a?1c）2+y2=（

2aca?12）2

当a=1时，化简得x=0.

所以当a≠1时，P点的轨迹是以（当a=1时，P点的轨迹为y轴.

评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.

43.（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.

解法二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，

a?1a?122c，0）为圆心，|

2aca?12|为半径的圆；

20

图7—12

所以|x+1|=

(x?1)2?y2.化简得：y2

=4x.

（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y=－3（x－1）.

由???y??3(x?1),消y得3x2－10x+3=0，

??y2?4x.解得x11=

3，x2=3.

所以A点坐标为（13,233），B点坐标为（3，－23），

|AB|=x161+x2+2=

3.

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

?162??(3?1)2?(y?23)2?(?3),① ?(1?1)2?(y?2)?(16 2)2.② ??333由①－②得42+（y+23）2=（

43）2+（y－

233）2，

解得y=－

1439.

但y=－

1439不符合①，

所以由①，②组成的方程组无解.

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由??y??3(x?1),得y=23，?x??1.即当点C的坐标为（－1，23）时，A、B、C三点共线，故y≠23.

又|AC|2

=（－1－

12

43y3）+（y－

233）2

=

289?3+y2

，

|BC|2=（3+1）2+（y+23）2=28+43y+y2， |AB|2=（

163）2=

2569.

20

当∠CAB为钝角时，cosA=

|AB|?|AC|?|BC|2|AB|?|AC|222<0.

即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即

28?43y?y?2289?433y?y?22569，即

y>

293时，∠CAB为钝角.

当|AC|2>|BC|2+|AB|2，即

289?433y?y?28?43y?y?222569，即y<－

1033时，∠CBA为钝角.

又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即

2569?2892?43y3?y?28?43y?y，

22即y?2433y?43?0,(y?23)?0.

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是

y??1033或y?239(y?23).

解法二：以AB为直径的圆的方程为（x－

53）2+（y+

233）2=（

83）2.

圆心（

53,?2383）到直线l：x=－1的距离为，

3233）.

所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角.

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角. 过点A且与AB垂直的直线方程为y?233?33(x?13).

令x=－1得y=

239.

过点B且与AB垂直的直线方程为y+23?33（x－3）.

20

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