直线和圆的方程十年高考数学真题分类解析(2)

AOB内部和边上的整点共有

176?62=91（个）

评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.

3.答案：D

解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y） ∴|x|＝|y| ∴|x|－|y|＝0 4.答案：C

解析：圆2x2＋2y2＝1的圆心为原点（0，0）半径r为

22，圆心到直线xsinθ＋y－1＝0的距离为：

d?|1|sin??12?1sin??12

∵θ∈R，θ≠

?2＋kπ，k∈Z

∴0≤sin2θ＜1 ∴d＞

22 ∴d＞r

∴圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R，θ≠5.答案：D

?2＋kπ，k∈Z）的位置关系是相离．

解析：将圆x＋y－2x＝0的方程化为标准式：（x－1）＋y＝1 ∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r

∴

2222

|1?a?1|(1?a)?12?1 ∴a＝－1

6.答案：A

解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A答案． 7.答案：D

解析：如图7—3所示，∠AOB＝60°，又|OA|＝|OB|＝1 ∴|AB|＝1

8.答案：B

方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围

?3(2?3)x???y?kx?3?2?3k?? ?6k?23?2x?3y?6?0?y??2?3k?图7—3 20

?x?0∵交点在第一象限，∴?

?y?0?3(2?3)?0??2?3k∴? ?6k?23?0??2?3k∴k∈（

33，＋∞）

∴倾斜角范围为（

??62,）

方法二：如图7—4，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l必过点（0，－3），当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.

评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.

9.答案：D

解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D. 10.答案：C

解析一：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A、C满足条件,再把A点坐标（1，－1）代入圆方程.A不满足条件.

∴选C.

解析二:设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r,因为圆心C在直线x+y－2=0上,∴b=2－a. 由|CA|=|CB|，得（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b－1）2，解得a=1，b=1 因此所求圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=4

评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视. 11.答案：C

解析：直线x=1垂直于x轴，其倾斜角为90°. 12.答案：A

解析：由已知得点A（－1，0）、P（2，3）、B（5，0），可得直线PB的方程是x+y－5=0. 评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征. 13.答案：B

解析一：设P=1+bi，则Q=P（±i）， ∴Q=（1+bi）（±i）=±b?i，∴y=±1 解析二：设P、Q点坐标分别为（1，t），（x，y）， ∵OP⊥OQ，∴2

图7—4 tyx1=－1，得x+ty=0 ①

∵|OP|=|OQ|，∴1?t2?x?y，得x2+y2=t2+1

22②

由①得t=－

xy，将其代入②，得x+y=

22

xy22+1，（x+y）（1－

22

1y2）=0.

∵x2+y2≠0，∴1－

1y2=0，得y=±1.

∴动点Q的轨迹为y=±1，为两条平行线. 评述：本题考查动点轨迹的基本求法.

20

14.答案：B

解析：∵点（x，y）关于x=y对称的点为(y，x),可知xy＋xy＝1的曲线关于x=y对称． 15.答案：B 解析：直线（3?∴k12k2＝(2?16.答案：C

解析一：圆x＋y＋4x＋3＝0化为标准式（x+2）＋y＝1，圆心C（－2，0）．设过原点的直线方程为y=kx，即kx－y=0.

由

2

2

2

22

2

2）x+y=3的斜率k1＝

2?3，直线x+（2?3）y=2的斜率k2＝3?2，

3)(3?2)＝－1．

|?2k|k?12＝1，解得k=±

3333，∵切点在第三象限，

∴k＞0，所求直线方程为y=

x．

解析二：设T为切点，因为圆心C（－2，0），因此CT=1，OC=2，△OCT为Rt△.如图7—5，∴∠COT=30°，∴直线OT的方程为y=

33x.

评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美结合，可迅

速、准确得到结果.

17.答案：C

解析：直线l1的倾斜角为

图7—5 ?4，依题意l2的倾斜角的取值范围为（

?4－

?12，

?4）∪（

?4，?412+

?）

即:（

?6，

?4）∪（

?4，

?3）,从而l2的斜率k2的取值范围为:（

33，1）∪（1,3）.

评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力. 18.答案：B 解析：由方程（x+

2）2+（y－2）2=4

如图7—6所示，故圆关于y=－x对称 故选B.

评述：本题考查了圆方程，以及数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴.

19.答案：C

解析：直线y=

图7—6 33x绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y=3x.已知圆的圆心（2，0）到

y=3x的距离d=3，又因圆的半径r=3，故直线y=3x与已知圆相切. 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系. 20.答案：C

20

图7—7

解析：如图7—7所示，

??3x?y?23?0由?

22??x?y?4消y得：x2－3x+2=0 ∴x1=2，x2=1

∴A（2，0），B（1，3） ∴|AB|=

(2?1)?(0?23)=2

2又|OB|＝|OA|=2

∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=

?3，故选C.

评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB的倾斜角为120°.则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义.

21.答案：A

解法一：当两直线的斜率都存在时，－

A1B12（?A2B2）＝－1，A1A2＋B1B2＝0.

?A1?0?A2?0当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，?， 或??B2?0?B1?0同样适合A1A2＋B1B2＝0，故选A.

解法二：取特例验证排除.

如直线x+y=0与x－y=0垂直，A1A2＝1，B1B2＝－1，可排除B、D.

直线x=1与y=1垂直，A1A2＝0，B1B2＝0，可排除C，故选A.

评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.

22.答案：C

解析：由题意知a≠0，sinB≠0，两直线的斜率分别是k1=－

sinAa，k2=

bsinB.

由正弦定理知k12k2=－

sinAa2

bsinB=－1，故两直线垂直.

评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.

23.答案：C

解析:方程（x－1）2+y2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x=a表示与x轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x=－1和x=3，由于a>0，取a=3.故选C.

评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题.

24.答案：B

解析一：若两直线平行，则

a3?2?1?2?2，

20

解得a＝－6，故选B.

解析二：利用代入法检验，也可判断B正确.

评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力. 25.答案：A

解析：圆的标准方程为：（x－1）2+（y－2）2=5.圆过坐标原点.直线l将圆平分，也就是直线l过圆心C（1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.

当直线l过圆心与x轴平行时，k=0，

当直线l过圆心与原点时，k=2. ∴当k∈［0，2］时，满足题意.

评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法. 26.答案：B

解析：A中过点P0（x0，y0）与x轴垂直的直线x=x0不能用y－y0=k（x－x0）表示，因为其斜率k不存在；C中不过原点但在x轴或y轴无截距的直线y=b（b≠0）或x=a（a≠0）不能用方程示；D中过A（0，b）的直线x=0不能用方程y=kx+b表示.

评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 27.答案：C

解析：将两圆方程分别配方得（x－1）＋y＝1和x＋（y－2）＝4，两圆圆心分别为O1（1，0），O2（0，2），r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝1?222图7—8 xa?yb=1表

2222

?5，又1＝r2－r1＜5＜r1＋r2＝3，故两圆相交，所

以应选C.

评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法.

28.答案：D

解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故应选D.

评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力. 29.答案：B

解析：直线方程可化为2x－y=0，d=

|?5|5?5.

评述：本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点，考查运算能力. 30.答案：60°

解析：因为直线y=3x+3的倾斜角为60°，而y=1与x轴平行，所以y=1与y=60°.

评述：考查直线方程的基本知识及几何知识，考查数形结合的数学思想. 31.答案：a=4±5

解析：因过A（－1，0）、B（0，2）的直线方程为：2x－y+2=0.圆的圆心坐标为C（1，a），半径r=1.又圆和直线相切，因此，有：d=

3x+3的夹角为

|2?a?2|5=1，解得a=4±5.

评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识.

20

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