上海市闵行区2010届高三上学期期末质量调研考试（数学理）(3)

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闵行区2009学年第一学期高三年级调研考试

数学试卷参考答案和评分标准

一、填空题（每题4分） 1. ?x?1?；

3 2. 2； 3. 2；

4. ???,?1?； 5. x?y?5z; 6. 理a?b且a?c?；文b?c?；

337. 0.3A?0.4B?0.3C；8. 理arccos10. 理

413；文23； 9. ?2；

12；文2； 11. 444； 12. 理?233；文?2；

13. 理1?；文 3?2； 14 ?4.

二、选择题（每题4分） 15. A； 16. C； 17. B； 18. C 三、解答题（19题至23题）19.（本题满分14分） (理科)取CD中点F，连AF，?E为PD中点，∴EF//PC， ∴?AEF（或其补角）的大小即为异面直线AE与PC所成的角的大小， (2分)

?PA?底面ABCD，∴?PDA就是PD与底面ABCD所成角，即?PDA??6，

且PA?AD,PA?AC，由已知条件及平面几何知识，得：PD?2,

1522AD?3?ABAE?1AC?6,AF?，于是PC?7,EF?72 (8分)

1?(72)?(722152)2在?AEF中，由余弦定理得：cos?AEF???77 (12分)

2?1?∴?AEF???arccos77，

即异面直线AE与PC所成的角的大小为arccos77． (14分)

另解： 以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

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?PA?底面ABCD，∴?PDA就是PD与底面ABCD所成角，即?PDA?PA?AD,PA?AC，由已知条件及平面几何知识，得：

?6，且

PD?2,AD?3?AB,∴A?0,0,0?,P?0,0,1?,C??31?3,30,E?0,,? (4分)

?22????∴AE??0,???????31,22?????，PC????17??3,3,?1 (8分)

?????????AE?PC∴cos???????????AE?PC77， (12分) 即异面直线AE与PC所成的角的大小为arccos77． (14分)

（文科）取BC中点E，连AE,DE，?D为PC中点，∴DE//PB，

∴?ADE（或其补角）的大小即为异面直线AD与PB所成的角的大小. (2分)

?PA?底面ABC，∴?PCA就是PC与底面ABC所成角，即?PCA?PA?AB,PA?AC，由已知条件及平面几何知识，得： 62?6，且

PC?2,AC?AB?3,PB?2，于是AD?1,DE?1,AE?， (8分) 64?1(12分)

2AD?DE2?1?1411∴?ADE=arccos，即异面直线AD与PB所成的角的大小为arccos．(14分)

44????20.（本题满分14分）（1）m?n.∴m?n?0，得3a?2bsinA?0 （2分）

在?ADE中，由余弦定理得cos?ADE?AD2?DE2?AE21?1??由正弦定理，得a?2RsinA,b?2RsinB，代入得： （3分）

3sinA?2sinBsinA?0,sinA?0，∴sinB?2?332， （ 5分）

B为钝角，所以角B?. （7分）

A?C2A?C2（2）（理科）?cosA?cosC?2coscos?3cos(C??6)

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（或：cosA?cosC?cosA?cos?12????A? ?3?32sinA??cosA?cosA????3sin?A??） （10分）

3??由（1）知 A??0,???????3????2???， ∴sinA?,1? （12分） ,A??,????????3??2?3?3?33???3?,3? （14分） ?2? 故cosA?cosC的取值范围是?（文科）?sinA????3cosA?2sin?A??， （10分） 3?????3????2??????由（1）知 A??0,?,A???,（12分） ,1，?，∴sin?A?????2?33333???????? 故sinA?3cosA的取值范围是?3,2 （14分）

?21.（本题满分16分）（1）设当天的旅游收入为L，那么L=xt，得

2?t?160t0,(?1t0???12L??25t0????6t?130t0,(?t5N?0,2t0N?0, （4分）

))当10?t?50时,L??12t2?1600t??12?502?1600?50?50000（元） （5分） 325?211250?当50?t?200时，L??6t?1300t??6?t? ??3?3?22 ?t?N， ∴当t?108元时，Lmax?70416（元） （6分）

此时 x?652（人） （7分） 故当天接待旅游人数为652人时旅游收入最多，收入为70416元. （8分） （2）要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营，即每天的旅游收入上缴税收后不低于54000元， 因??12t?1600t?2max?50000?54000,?10?t?50?,显然不满足条件 （10分）

2由??6t2?1300t??80%?54000?3t?650t?33750?0?50?t?200? （12分）

0 （14分） 得 87?t?13.

因此520?x?778，故每天的游客人数应控制在520人到778人之间. （16分） 22.（本题满分16分）（1）∵等差数列?an?中，公差d?0，

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?a2?a3?45?a2?a3?45?a2?5∴??????d?4?an?4n?3 （4分）

a?9a?a?14a?a?1434?1?3?2（2）Sn?n?1?4n?3?212?n?2n?1?，bn?115Snn?c?n?2n?1?n?c， （6分）

12由2b2?b1?b3得

2?c1?c3?c1反之，令c??，即得bn?2n，显然数列?bn?为等差数列，

2??，化简得2c2?c?0,c?0，∴c??（8分）

∴ 当且仅当c??12时，数列?bn?为等差数列. （10分） 8?1n?1（3）（理科）?cn?1212131?an?7??bn???1n??n?1?n?nn?1?1n?1n?1

∴Tn?1???

?8?n?4?nnnf?n??Tn??an?3???0.9???4n???0.9?4?n?1??0.9

bn?n?1?n???f?n?1??f?n??4?0.9???0.9n??n?1????4?0.9??1?0.1n??n?Nnn*（12分）

?

∴当n?10时，f?n?1??f?n?，当n?10时，f(n?1)?f(n，)当n?10时，f?n?1??f?n?，∴f?n?max?f?10??f(11)?12.55??12,13?， （14分）

*∴存在不小于13的整数，使f?n??13对一切n?N都成立，Mmin?13 （16分）

(文科) ?cn?128?an?7??bn12?13????1n1?n?1?n?1n?1??1nn?1n?1 ∴Tn?1??n?1 f?n??2bnan?292?Tn?4n4n?5?nn?1?1?54n?5?1?1n?1?54n?5?1n?1 （12分）

?f(1)??,而n?2时

f(n?1)?f(n)?54n?1?1n?2?54n?5?1n?1??20?4n?1??4n?5??n?2??n?1??1?0∴?f?n??在n?2时为单调递减数列，此时f(n)max?f(2)?2 （14分）

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∴存在不小于2的整数，使f?n??2对一切n?N*都成立， Mmin?2 （16分）

23.（本题满分18分）（理科）（1）由y?32?a?x34,?a?1?得ax?34?(y?32),y?232，由已知可得

g?2??3?3?x??logx????a??2?4?????,x?32 . （4分）

（2）?y?(x?（或设

232)?32234在x?32上是单调递增的，又a?1，

x1?x2?,则x1?x2?0,x1?x2?3,

2??x1?3x1?3???x2?3x2?3???x1?x2????x1?x2??3???0??x1?3x1?3???x2?3x2?3?， 22?a?1,?loga?x1?3x1?3??loga?x2?3x2?3?） 22所以函数g?x?在区间?m,n??m??g?m??log?3??上为增函数，因此 （6分） 2?aa?m2?3m?3?log??p?3m?,g?n???3loga?n2?3n?3?log?a?p?3n?.

即m2?3m?3?p?3m,n2?3n?3?p?3n,???m?n?. ?2?所以 m、n是方程x2?3x?3?p?3x,x???3?,???的两个相异的解. （8分） ?2?????36?4(3?p)?0?93?32设h?x??x?6x?3?p，则?h()??6??3?p?0 （10分）

42?23?3???2所以?6?p??2154为所求. （12分）

32另解：由p?x?6x?3,x? 可转化为函数y?x?6x?3,x?154232 图像与函

数y?p的图像有两个交点问题，数形结合求得：?6?p??.

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