湖南省高考数学试卷（理科）及解析(4)

数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46 点评： 本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题． 19．（12分）（2013?湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3． （I）证明：AC⊥B1D；

（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．

考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质． 专题： 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角． 分析： （I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D； （II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值． 解答： 解：解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1， 又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线 ∴AC⊥平面BB1D， ∵B1D?平面BB1D，∴AC⊥B1D； （II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1， 由此可得直线B1C1与平面ACD1所成的角，等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ） 连接A1D， ∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°， ∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1?平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1 又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D ∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D， 由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1=90°﹣θ， ∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB 因此，，可得AB== 连接AB1，可得△AB1D是直角三角形， 222222∴B1D=B1B+BD=B1B+AB+BD=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===， 即cos（90°﹣θ）=sinθ=

，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为

．

点评： 本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识，属于中档题． 20．（13分）（2013?湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．

（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；

（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．

考点： 根据实际问题选择函数类型；绝对值三角不等式． 专题： 应用题；不等式的解法及应用． 分析： （I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值； （II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标． 解答： 解：设点P的坐标为（x，y），则 （I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）； （II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值 ①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20| ∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24 ∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24 ∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21 ∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21 ∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45； ②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20| 此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21 由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立 综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小． 点评： 本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．

21．（13分）（2013?湖南）过抛物线E：x=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．

（I）若k1＞0，k2＞0，证明：

（II）若点M到直线l的距离的最小值为 考点： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达；

，求抛物线E的方程．

2

式，利用基本不等式放缩后可证得结论； （Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于物线E的方程可求． 解答： 解：（I） 由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为． 求出p的值，则抛由，得． 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根． 从而x1+x2=2pk1，所以点M的坐标为同理可得点N的坐标为于是． ． ，，． ． ． 由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜故（Ⅱ）由抛物线的定义得所以故圆M的方程为化简得同理可得圆N的方程为． ． ，，从而圆M的半径， ． ，

于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0． 因为p＞0，所以点M到直线l的距离为 =故当时，d取最小值2． ． ，解得p=8． ．由题设故所求抛物线E的方程为x=16y． 点评： 本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题． 22．（13分）（2013?湖南）已知a＞0，函数

．

（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；

（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用． 分析： （I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式； （II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论． 解答： 解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时， ∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减； 当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增． ①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）= ②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增 ∴g（a）=max{f（0），f（4）} ∵f（0）﹣f（4）== ；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=， ∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=综上所述，g（a）=； （II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求； 当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在 两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1

∴?=﹣1 ∴① ∵x1∈（0，a），x2∈（a，4）， ∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1） ，1）的交集非空 时，A∩B≠? ∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）． 点评： 本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．

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