湖南省高考数学试卷（理科）及解析

湖南省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2013?湖南）复数z=i?（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 2．（5分）（2013?湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ） A．抽签法 B． 随机数法 C． 系统抽样法 D． 分层抽样法 3．（5分）（2013?湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ） A．B． C． D． 4．（5分）（2013?湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（ ）

A． 0 B． C． D． 5．（5分）（2013?湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x﹣4x+5的图象的交点个数为（ ） 3 2 1 0 A．B． C． D． 6．（5分）（2013?湖南）已知，是单位向量，

，若向量满足

，则

的取值范围为（ ）

2

A．B． C． D． 7．（5分）（2013?湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ） 1 A．B． C． D． 8．（5分）（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）

2 A．1 B． C． D． 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）

9．（2013?湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：的右顶点，则常数a的值为 _________ ．

10．（5分）（2013?湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a+4b+9c的最小值为 _________ ．

11．（5分）（2013?湖南）如图，在半径为CD的距离为 _________ ．

的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦

2

2

2

，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）

12．（5分）（2013?湖南）若

，则常数T的值为 _________ ．

13．（5分）（2013?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为 _________ ．

14．（5分）（2013?湖南）设F1，F2是双曲线C：

（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，

且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为 _________ ．

15．（5分）（2013?湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，（1）a3= _________ ；

（2）S1+S2+…+S100= _________ ．

16．（5分）（2013?湖南）设函数f（x）=a+b﹣c，其中c＞a＞0，c＞b＞0．

（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为 _________ ．

（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是 _________ ．（写出所有正确结论的序号） ①?x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；

xxx

②?x∈R，使a，b，c不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．

x

x

x

，n∈N，则

*

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）（2013?湖南）已知函数（I）若α是第一象限角，且

，求g（α）的值；

，

．

（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合． 18．（12分）（2013?湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率； （II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

19．（12分）（2013?湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3． （I）证明：AC⊥B1D；

（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．

20．（13分）（2013?湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．

（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；

（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．

21．（13分）（2013?湖南）过抛物线E：x=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．

（I）若k1＞0，k2＞0，证明：

（II）若点M到直线l的距离的最小值为

22．（13分）（2013?湖南）已知a＞0，函数

．

；

，求抛物线E的方程．

2

（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；

（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

2013年湖南省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2013?湖南）复数z=i?（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 计算题． 分析： 化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案． 解答： 解：z=i?（1+i）=﹣1+i， 故复数z对应的点为（﹣1，1）， 在复平面的第二象限， 故选B． 点评： 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． 2．（5分）（2013?湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ） A．抽签法 B． 随机数法 C． 系统抽样法 D． 分层抽样法 考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计． 分析： 若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 解答： 解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1． 故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法． 故选D 点评： 本小题主要考查抽样方法，属基本题． 3．（5分）（2013?湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ） A．B． C． D． 考点： 正弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A． 解答： 解：∵在△ABC中，2asinB=b， ∴由正弦定理∴sinA=∴A=． ==2R得：2sinAsinB=sinB， ，又△ABC为锐角三角形， 故选D． 点评： 本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．

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