湖南省高考数学试卷（理科）及解析(2)

4．（5分）（2013?湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（ ）

A． 0 B． C． D． 考点： 简单线性规划． 专题： 计算题；不等式的解法及应用． 分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为． 解答： 解：作出不等式组表示的平面区域， 得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1） 设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（，）= 故选：C 点评： 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 5．（5分）（2013?湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x﹣4x+5的图象的交点个数为（ ） 3 2 1 0 A．B． C． D． 考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用． 2分析： 本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案． 解答： 解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如下图： 2

由图可知，两个函数图象共有2个交点 故选B． 点评： 求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案． 6．（5分）（2013?湖南）已知，是单位向量，

，若向量满足

，则D． 的取值范围为（ ）

A．B． C． 考点： 等差数列；平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 令，，，作出图象，根据图象可求出解答： 解：令如下图所示：则，， ，， 的最大值、最小值． 又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上， 达到最值，最大值为﹣1，+1]． +1，最小值为﹣1， 易知点C与O、D共线时所以的取值范围为[故选A． 点评： 本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具． 7．（5分）（2013?湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ） 1 A．B． C． D．

考点： 简单空间图形的三视图． 专题： 计算题． 分析： 求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出． 解答： 解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为． 因此可知：A，B，D皆有可能，而故选C． 点评： 正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键． 8．（5分）（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）

＜1，故C不可能． ． 2 A．1 B． C． D． 考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题： 直线与圆． 分析： 建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值． 解答： 解：建立如图所示的坐标系： 可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4， △ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4， 则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足， 解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0）， 由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线， 直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=2（x+a）， 由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a﹣4a=0， 解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP= 故选D

点评： 本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题） 9．（2013?湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：

，（t为参数）过椭圆C：

（θ为参数）

的右顶点，则常数a的值为 3 ． 考点： 参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值． 解答： 解：由直线l：，得y=x﹣a， 再由椭圆C：，得， ①+②得，所以椭圆C：22． 的右顶点为（3，0）． 因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3． 故答案为3． 点评： 本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题． 10．（5分）（2013?湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a+4b+9c的最小值为 12 ． 考点： 柯西不等式；柯西不等式的几何意义． 专题： 计算题；不等式的解法及应用． 222222分析： 根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a+4b+9c）=3（a+4b+9c），化简得a+4b+9c≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a+4b+9c的最小值为12． 解答： 解：∵a+2b+3c=6， 22222222∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）=（1×a+1×2b+1×3c）≤（1+1+1）[a+（2b）+（3c）]

2222222

2

2

化简得6≤3（a+4b+9c），即36≤3（a+4b+9c） 222∴a+4b+9c≥12， 当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立 由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a+4b+9c的最小值为12 故答案为：12 点评： 本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a+4b+9c的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题． 11．（5分）（2013?湖南）如图，在半径为CD的距离为 ．

的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦

2222222222222

考点： 圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段． 专题： 计算题． 分析： 首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率． 解答： 解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD， ∴2×2=CP?1， 解得：CP=4，又PD=1， ∴CD=5， 又⊙O的半径为， 则圆心O到弦CD的距离为d=故答案为：． == 点评： 此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题． 12．（5分）（2013?湖南）若

，则常数T的值为 3 ．

考点： 定积分． 专题： 计算题． 分析： 利用微积分基本定理即可求得． 解答： 解：==9，解得T=3， 故答案为：3． 点评： 本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题． 13．（5分）（2013?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为 9 ．

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