第三章自控系统的时域分析 - 图文(7)

现以它的各项系数写出如下之行列式：

行列式中，对角线上各元为特征方程中自第二项开始的各项系数。每行以对角线上各元为准，写对角线左方各元时，系数a的脚标递增；写对角线右方各元时，系数a的脚标递减。当写到在特征方程中不存在系数时，则以零来代替。

赫尔维茨判据描述如下：系统稳定的充分必要条件在a0>0的情况下是，上述各行列式的各阶主子或均大于零，即对稳定系统来说要求

赫尔维茨稳定判据虽然在形式上与劳斯判据不同，但实际结论是相同的。

例3-6

三阶系统的特征方程为D(s)= =0 列出系数行列式

赫尔维茨稳定判据指出，该三阶系统稳定的充分和必要条件是：

a1>0

=a1a2-a0a3>0

=a3(a1a2-a0a3)>0

或者写成系统稳定的充分必要条件是：

a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2-a0a3>0

又如四阶系统特征方程为

D(s)=

系统稳定的充分必要条件是：

a1>0

=0

=a1a2-a0a3>0

=a3(a1a2-a0a3)- a4>0

=a4[a3(a1a2-a0a3)- a4]>0

或者写成四阶系统稳定的充分必要条件是：

a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2-a0a3>0， a1a2-a0a3>0，a3(a1a2-a0a3)- a4>0

以上得出的结果与前述劳斯判据所得的三阶和四阶系统稳定的充分必要条件完全一样。

应用代数判据不仅可以判定系统是否稳定，还可以用来分析系统参数变化对系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。

例3-7

设反馈控制系统如图3-1所示，求满足稳定要求时K的临界值。

图3-1

解 系统闭环传递函数是

其特征方程为

D(s)=s(s+1)(s+5)+K=0

或

列出劳斯表

s3 s2 s1 s0

K 1 6

5 K

=0

按劳斯判据，要使系统稳定，其第一列应为正数，即

K>0，30-K>0

则有

0

从而得出满足稳定的临界值Kc=30。 例3-8

已知系统的闭环传递函数为

求临界放大系数Kc及其与参量T1、T2及T3的关系。

解 系统的特征方程为

D(s)=T1T2T3s3+(T1T2+T1T3+T2T3)s2+(T1+T2+T3)s+1+K=0

根据劳斯判据，稳定的充分必要条件是：特征方程的各项系数均大于零，并且a1a2-a0a3>0。现在系统的时间常数及放大系数均为正，所以满足各项系数均大于零的条件。将各项系数代入a1a2-a0a3>0中，得

(T1+T2+T3)(T1T2+T1T3+T2T3)-T1T2T3(1+K)>0

或 1+K<(T1+T2+T3)( + + )

从而得临界放大系数

Kc=(T1+T2+T3)( + + )-1

由此式看出，T1、T2、T3中只要有一个足够小，那么Kc就可以增大。决定Kc大小的，实际上并不是各时间常数的绝对值，而是其相对值，即取决于各时间常数的比值。将上式变换成

Kc=2+

+

+ + + +

还可以求出开环增益临界值Kc的极小值Kcmin与参量T1、T2及T3的关系。为此，先求出Kc对T1、T2及T3的偏导并令其为零。

= + - - =0

= + - - =0

=

整理以上各式，即得

+ - - =0

(T2+T3)( -T2T3)=0 (T1+T3)( -T1T3)=0 (T1+T2)(

-T1T2)=0

由此可见，T1、T2及T3必须同时满足以上三式，Kc才有极值。又因为以上三式的形式是一样的，所以能够看出，只有

T1=T2=T3=T

时，Kc才有极值。为进一步确定极值是极大值抑或极小值，可从Kc对T的二阶偏导来判断。由于

=

故知极值为极小而非极大。

将T1=T2=T3=T的关系代入到Kc中，则有

>0

Kcmin=8

这个结论表明，由三个非周期环节串联组成的反馈控制系统，当三个非周期环节的时间相等时，系统的临界开环增益最低。

若取T1=10T2，T2=T3，则可求得Kc=24.2。时间常数的数值错开得愈多，则Kc可以提高得愈多。

§3-8 控制系统的稳定误差

一.稳态误差和误差传递函数.

1.误差的定义: 被控量的希望值Co(t)和实际值C（t）之差.即 ??t??c0?t??c?t? t??时的??t?称为稳态误差,用ess表示.即

??t? ess?limt?? 2.误差与偏差的关系.

<1>单位反馈系统

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