高二数学选修2-2 - - 第一章测试题(2)

若x?(??,?1)?(1,??)，则f'(x)?0 故f(x)在(??,?1)和(1,??)上是增函数；

，1)，则f'(x)?0 若x?(?1 故f(x)在(?1,1)上是减函数；

所以f(?1)?2是极大值，f(1)??2是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分） （2）曲线方程为y?x3?3x，点A(0,16)不在曲线上。 设切点为M(x0,y0)，则y0?x0?3x0 由f'(x0)?3(x0?1)知，切线方程为

y?y0?3(x0?1)(x?x0) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （9分） 又点A(0,16)在切线上，有16?(x0?3x0)?3(x0?1)(0?x0) 化简得 x0??8，解得 x0??2

所以切点为M(?2,?2)，切线方程为 9x?y?16?0 ┅┅┅┅┅┅ （12分） （19）（本小题满分14分）

解：f'(x)?12x3?24x2?12x?24?12(x?1)(x?1)(x?2)

令f'(x)?0，得：x1??1,x2?1,x3?2 ┅┅┅┅┅┅┅ （2分） 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：

332223x f'(x) (0,1) 1 (1,2) － 2 0 (2,??) ? 0 ? f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴极大值为f(1)?13，极小值为f(2)?8 又f(0)?0，故最小值为0。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）

最大值与a有关：

（1）当a?(0,1)时，f(x)在(0,a)上单调递增，故最大值为：

f(a)?3a?8a?6a?24a ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） （2）由f(x)?13，即：3x?8x?6x?24x?13?0，得：

22 (x?1)(3x?2x?13)?0，∴x?1或x?4324321?210 3 又x?0，∴x?1或x?1?210 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分） 3 第 6 页

∴当a?[1,1?210]时，函数f(x)的最大值为：f(1)?13 ┅┅ （12分） 31?210,??)时，函数f(x)的最大值为： 3（3）当a?( f(a)?3a4?8a3?6a2?24a ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （14分） （20）（本小题满分12分）

解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，则 由h?r?R，所以 V?2221111?r2h??(R2?h2)h??R2h??h3,(0?h?R) 3333 ∴V'?123?R??h2，令V'?0得 h?R ┅┅┅┅┅┅┅ （6分） 33 易知：h?3R是函数V的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。 3 ∴当h?3R时，容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分） 3 把h?36R代入h2?r2?R2，得 r?R 3326? 3 由R??2?r得 ?? 即圆心角??26?时，容器的容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅ （11分） 326?时，容器的容积最大。 ┅┅┅┅ （12分） 3答：扇形圆心角?? (21) （本小题满分12分） 解：解方程组??y?kx?y?x?x222 得：直线y?kx分抛物线y?x?x的交点的横坐标为

x?0和x?1?k ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分） 抛物线y?x?x与x轴所围成图形为面积为 S?1213112(x?x)dx?(x?x)|0? ┅┅┅┅┅ （6分） ?02361 由题设得

1?k1?kS2?(x?x)dx??kxdx

02?0 第 7 页

??1?k0(1?k)3 ┅┅┅┅┅┅┅ （10分） (x?x?kx)dx?6231143 又S?，所以(1?k)?，从而得：k?1? ┅┅┅┅┅ （12分）

622 (22) （本小题满分14分）

解：（1）b?2时，函数h(x)?lnx?12ax?2x，且 21ax2?2x?1h'(x)??ax?2??

xx∵函数h(x)存在单调递减区间，∴h'(x)?0有解。 ┅┅┅┅ （2分）

2又∵x?0，∴ax?2x?1?0 有 x?0的解。

2① 当a?0时，y?ax2?2x?1为开口向上的抛物线，ax?2x?1?0总有

x?0的解; ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分）

2② 当a?0时，y?ax2?2x?1为开口向下的抛物线，而ax?2x?1?0有

x?0的解，则

??4a?4?0，且方程ax?2x?1?0至少有一正根，此时， ?1?a?0

综上所述，a的取值范围为(?1,0)?(0,??)。 ┅┅┅┅┅┅┅ （7分） （2）设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，且0?x1?x2，则 点M,N的横坐标为x?2x1?x2， 2C1在点M处的切线斜率为k1?12|x1?x2?； xx?2x1?x2x?x1?x2?2C2在点N处的切线斜率为k2?(ax?b)|a(x1?x2) ?b。 ┅ （9分）

2 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1?k2，即

a(x1?x2)2??b

2x1?x2则

2(x2?x1)a22?(x2?x1)?b(x2?x1)

x1?x22a2a2x2?bx2)?(x1?bx1)?y2?y1?lnx2?lnx1 22 ?( 第 8 页

x2?1)x2x1所以 ln ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （11分） ?2(x11?x2x1设t?x22(t?1)x，则lnt?,t?1， ① 11?t令h(t)?lnt?2(t?1)1?t,t?1，则 h'(t)?14(t?1)2t?(1?t)2?t(t?1)2 当t?1时，h'(t)?0，所以h(t)在[1,??)上单调递增。 故h(t)?h(1)?0，从而lnt?2(t?1)1?t 这与①矛盾，假设不成立， ∴C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。 ┅┅┅┅

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14分） （

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