注重数学本质，提高数学素养(2)

定义要深入一步，体现了分数出现的必要性，特别是商和除法之间的关系，我想，如果理解了这一点，分数的价值才能完整的体现。

份数定义还停留在“几份”的思考上，还没有摆脱自然数的表示。1份，几份，是分数还是自然数？因此必须尽快过渡到分数的“商”定义。

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唐：刚才张老师也说起分数与除法的关系，但是以前我们描述分数与除法的关系时只讲分数与除法之间的关系，一般描述为：分数中的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。但到底是怎样的一种关系，尚不明晰。通过刚才的介绍分数的商的定义，可能分数是一个新的数。张老师，你刚才还提到了分数的另外一种定义，那是一种怎样的定义？

张：分数的第三个定义是比的定义

两个自然数 a比b, b ≠0, 即a/b 叫做分数。

比和除，本来是一个问题的两个方面，我的意思是说，用比的概念之后，分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。我记得我曾经请你做过一个实验，你把实验向大家介绍一下。

唐：好的，我们来分享一下这个实验的结果。上次张老师布置我做过一个小调查，我们就组织了100多名学生，分别来自三、四、六年级，调查的方法是，就是当学生看到屏幕上有一个圆，我们把圆分成4份，其中的一份涂成蓝色，这时学生会想到哪些分数呢？我们给学生一些时间，让他们想，结果我们发现：

测试结果： （时间2分钟）

总人数 39 39 38 116 1/4 38 36 36 110 3/4 14 17 8 39 1/2 4/1 1/3 3/1 0 2 三年级 四年级 六年级 合计 百分率 10 3 13 8 8 3 11 8 2 94.83 33.62 11.2 6.90 9.48 1.72 张老师。你怎么看这个数据。

张：我想，比的定义和我们原来份数的定义是相关的，份数的定义是说一个整体平均分之后，其中的几份。从这个小调查看出，以整个圆作为“整体单位”的思维定势还是比较强的。但整体不仅仅是一个圆，也可以是1个半圆，或3/4个圆，所以整体是可以变化的，是可以有多种多样的选择的。所以就一个大学的教师来看，我首先看到的是在1个圆里面1块蓝3块白，蓝和白之比是1：3，然后马上就认为是一个1/3。所以说不能把一个整圆分成4等分作为一种定式，以至于看不到一块蓝三块白之间的比。我想比的定义也许和份数之间的灵活转换有一定的关系，我也希望大家把份数和比的定义连接起来思考。

唐：如果电视机前面的老师也有兴趣的话，你也不妨对你班里的学生做这样的调查，或许你能更加深刻的认识到刚才张老师所讲的从份数定义怎样过渡到商的定义的重要性。因为在这个过渡的过程中，让我们明确了分数是不同于自然数的一种“新”的数，是我们的新朋友。当我

们把1/3 ，1/6等等分数标在数轴（数射线）上的时候 ，新数的面貌就完全呈现出来了。 4．分数基本性质

唐：分数学习中有一个重要的性质，是老师们都特别熟悉的，就是分数的基本性质。但是所谓基本性质，我们总是这样描述：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。除了这样的描述，究竟是什么性质呢？并没有明确的词语，好像总得有一个特别的名字才好。从数学的角度应该怎么描述？

张：我想，这就是分数相等的性质，在自然数里面，两个数相等，这两个数的表达是一样的，2等于2，2就是2。在分数里面，不同形式的分数，它是相等的，但相等的东西可以不一样，这就是一个新问题了。在数学上面，这叫做“等价类”。就是把不同表现形式的东西归为一类，这样，我们在观察问题时，就不仅是看一个数，而是看一群数，一类数，这类数我们就叫做“等价类”。这个思想在教材当中未见得要出现，但是作为老师我们要认识到，自从进入分数范围内以后，这个基本性质，实际上是说明了：不同的东西可以归为一类，但是它们有个标准，就是数值相等。“等价类”是一种非常重要的数学思想，也是我们处理分数不可缺少的一个思考。

大家也可以看这个“等价类”例子， 1/2 所在的等价类，各个分数彼此相等： 1/2 = 2/4= 3/6 =??= n/2n = ??

唐：听张老师这么一说，就是说有不同分数的外形，但是它的数值是一样的，如果要派代表的时候，我们都很熟悉，叫做最简分数。那么用最简分数作代表行不行？你能不能给我们结合具体的事例形象地说明一下？

张： 我可以有两个比喻：

一个是：分数好像一个人可以穿不同的衣服。体育课穿运动服，上课穿校服，正式场合穿西装，文艺演出穿演出服，休闲时穿休闲服等等。不同场合穿不同衣服，虽然最常用的是校服，但校服不能代替其它的服，但人是同一个。

另一个是：分数又好像我们的学校。里面的成员都是平等的，都能代表学校，但是各有各的作用。校长会议校长去参加，数学教师活动请数学教师去，5年级学生的竞赛则必须由5年级学生参与。

所以我想，“等价类”就是这样，大家都是平等的，不同的场合要有不同的表示形式。最简分数固然重要，但分数相加需要通分，最简分数就不够用了。就如校长虽然重要，却不能代表一切。所以你刚才提的问题很好，所谓分数的基本性质，就是分数相等的性质。什么叫做分数相等，就是这样的定义。

唐：经过张老师这样形象地描述，分数的这个等价性大家一定清楚些了。那为什么分数要出这样一个基本性质，而自然数没有呢？ 张：相等的自然数只有一种形式。但是相等的分数却有不同的形式。而且分数的约分，通分在后续学习中非常有用。所以必须认真学习，加深理解。

唐：基于以上的讨论，我感到分数教学对我们老师的启示有以下两点：第一，分数是“新朋友”，是除不尽情形下引进的新数。分数的本质在于使得自然数的除法总可以施行，因而分数的“商定义”显得十分重要。第二。分数是一个大家庭，相等的分数可以有不同的形式。等价类的思想应该有所渗透。 5．小数与分数的关系

唐：说完了分数，我们来讨论和分数密切相关的小数，小数与分数的关系，我们常常这样说：小数是分数的另一种形式。十分之几的分数可以写成一位小数，百分之几的分数可以写成两位小数，??依此类推，所以一般都先学分数再学小数。你怎么看？

张：先学分数再学小数是从一般到特殊，一般的分数有了，我们再来研究特殊的，以10为分母的分数。但是小数是不是因为分数才产生的呢？这不是。小数的产生与现实中的度量有密切关系。我们有了尺所以下面有寸、有分，我们有了斤所以下面有两。所以我想，如果我们先学分数，比如说几元、几角、几分，然后再把特殊的分数，我们分成10份的分数，推广为一般，从特殊到一般，也是一种认识的规律。所以这两者，在我所见到的国内外许多教材当中，是有不同的安排的。有些就是由一般到特殊，像我们现在多数采取的，有些国外的教材就是从特殊到一般，先有小数这样的分数，然后在推广到一般的分数，都是可以的。 唐：看来现代人们在编教材的时候有不同的解读，所以顺序也不一定一样。那么小数与分数之间到底有怎样的关系，有什么区别呢？在数学史上到底是先有分数还是先有小数？

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