广东省揭阳市2010届高三高考“一模”数学（文科）试题(2)

∴四棱锥B－CEPD的体积

33(3) 证明：∵EC//PD，PD?平面PDA， VB?CEPD?1S梯形PDCE?BC?1?3?2?2.----8分

EC?平面PDA

∴EC//平面PDA,------------------------------------10分 同理可得BC//平面PDA----------------------------11分

∵EC?平面EBC,BC?平面EBC且EC?BC?C ∴平面BEC//平面PDA-----------------------------13分

又∵BE?平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分

（2010·揭阳一模）18．（本题满分12分）

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

男生 女生 合计 喜爱打篮球 10 不喜爱打篮球 5 合计 ５０ 3已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．

5（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，A1，A2，A3,A4,A5还喜欢打羽毛球，B1，B2，B3还喜欢打乒乓球，C1，C2还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．

下面的临界值表供参考：

p(K2?k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 (参考公式：K?

n(ad?bc)2(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)，其中n?a?b?c?d)

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18．解：(1) 列联表补充如下：-----------------------------------------------------3分 男生 女生 合计 （2）∵K?2喜爱打篮球 ２０ １０ ３０ 50?(20?15?10?5)30?20?25?252不喜爱打篮球 ５ １５ ２０ 合计 ２５ ２５ ５０ ?8.333?7.879------------------------5分

∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.------------------------------------------6分

（3）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可

能的结果组成的基本事件如下：

(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)(A1，B3，C2),

(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，

(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，

，

(A2，B2，C2)，

(A2，B3，C1)，，

(A2，B3，C2)，

(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2),(A3，B2，C2)， (A4，B1，C1)，(A4，B1，C2)，(A4，B2，C1)(A4，B2，C2)，(A4，B3，C1)，(A4，B3，C2)(A5，B1，C1)，(A5，B1，C2)，(A5，B2，C1)(A5，B2，C2)，(A5，B3，C1)，(A5，B3，C2)，

，，，

基本事件的总数为30，----------------------------------------------------------------9分

用M表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件M表示“B1，C1全被选中”这一事件，

(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)(A4,B1,C1),(A5,B1,C1) 5个基本由于M由(A1，B1，C1)，事件组成， 所以P(M)?530?16，---------------------------------------------------------------11分

16?56由对立事件的概率公式得P(M)?1?P(M)?1?

（2010·揭阳一模）19．（本题满分14分）

.--------------------------------------12分

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????在平面直角坐标系中，已知向量a?(x,y?4),b?(kx,y?4)（k?R），a?b，动点

M(x,y)的轨迹为T．

（1）求轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；

（2）当k?1时，已知O(0,0)、E(2,1)，试探究是否存在这样的点Q： Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S?OEQ?2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

?????19．解：（1）∵a?b ∴a?b?(x,y?4)(kx,y?4)?0

得kx2?y2?16?0 即kx2?y2?16------------------------------------2分 当k?0时，方程表示两条与x轴平行的直线；(答方程表示两条直线不扣分)----------------------------3分

当k?1时，方程表示以原点为圆心，4为半径的圆；(答方程表示圆不扣分)-----------------------4分

当k?0且k?1时，方程表示椭圆；-------------------------------------5分 当k?0时，方程表示双曲线.-------------------------------------------6分 （2）由（1）知，当k?1时，轨迹T的方程为：x2?y2?42.

连结OE，易知轨迹T上有两个点A(?4,0)，B(4,0)满足S?OEA?S?OEB?2, 分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2. ∵同底等高的两个三角形的面积相等

∴符合条件的点均在直线l1、l2上. --------------------------------7分 ∵kOE?12 ∴直线l1、l2的方程分别为：y?12(x?4)、y?12(x?4)--------8分

设点Q(x,y) （x,y?Z ）∵Q在轨迹T内，∴x2?y2?16-----------------------9分

?x2?y2?16?x2?y2?1622???4?x?2?2?x?4 分别解?与 得与?1155?y?(x?4)?y?(x?4)?2?2∵x,y?Z∴x为偶数，在(?4,2在(?22525)上x??2,,0,2，对应的y?1,2,3

,4)上x??2,0,2，对应的y??3,?2,?1-----------------------13分

∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：

(?2,1),(0,2),(2,3),(?2,?3),(0,?2),(2,?1)．------------------------------------------14分

（2010·揭阳一模）20．（本题满分14分）

已知曲线C：xy?4x?4?0，数列{an}的首项a1?4，且当n?2时,点(an?1,an)恒

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12?an在曲线C上，数列{bn}满足bn?.

（1）试判断数列{bn}是否是等差数列？并说明理由；

（2）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（3）设数列{cn}满足anbn2cn?1，试比较数列{cn}的前n项和Sn与2的大小. 20．解：（1）∵当n?2时,点(an?1,an)恒在曲线C上

∴an?1an?4an?1?4?0-----------------------------------------------1分 由bn?12?an得

12?an12?an?1an?an?14?2an?1?2an?4an?1?4当n?2时，bn?bn?1???an?an?14?2an?1?2an?anan?1an?an?1?2an?2an?1

????12----5分

∴数列{bn}是公差为?（2）∵a1＝4，∴b1?∴bn??由bn?12112的等差数列.----------------------------------------------6分

122?a1??

12n-----------------------------------8分

?(n?1)?(?12)??12?an得an?2?1?2?2-----------------------------------------------10分

bnn2（3）∵anbncn?1 ∴cn?1anbn12?2n(n?1)11＝2(1n1?1n?11n?1)----------------------12分

∴Sn?c1?c2???cn?2[(1?)?(?)???(?223n)]?2(1?1n?1)?2-----14分

（2010·揭阳一模）21．（本题满分14分）

设函数f(x)?x|x?1|?m,g(x)?lnx.

（1）当m?1时，求函数y?f(x)在[0,m]上的最大值；

（2）记函数p(x)?f(x)?g(x)，若函数p(x)有零点，求m的取值范围. 21．解：（1）当x?[0,1]时，f(x)?x(1?x)?m＝?x?x?m??(x?∴当x?12212)?m?214

时，f(x)max?m?14 ------------------------------------2分

2当x?(1,m]时，f(x)?x(x?1)?m＝x?x?m?(x?12)?m?214

2∵函数y?f(x)在(1,m]上单调递增 ∴f(x)max?f(m)?m--------------4分

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由m2?m?1?14得m2?m?2141??0又m?1?m?222 14∴当m?2时，f(x)max?m2，当1?m?1?2时，f(x)max?m?.----6分

（2）函数p(x)有零点即方程f(x)?g(x)?x|x?1|?lnx?m?0有解

即m?lnx?x|x?1|有解-----------------------------------------------7分

令h(x)?lnx?x|x?1| 当x?(0,1]时h(x)?x2?x?lnx ∵h'(x)?2x?1x?1?22?1?0----------------------------------------9分

∴函数h(x)在(0,1]上是增函数，∴h(x)?h(1)?0------------------------10分 当x?(1,??)时，h(x)??x2?x?lnx ∵h'(x)??2x?1x?1??2x?x?1x2??(x?1)(2x?1)x?0-----------------12分

∴函数h(x)在(1,??)上是减函数，∴h(x)?h(1)?0-----------------------13分

∴方程m?lnx?x|x?1|有解时m?0

即函数p(x)有零点时m?0---------------------------------------------14分

2010年揭阳市高考“一模”试题

数学 (文科)参考答案及评分说明

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