大学物理静电场试题库(4)

解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理?E?dS?E?r??4πr2?E?r???q/ε0，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为

r＜R1时， E1?r??0

R1＜r＜R2 时，E2?r??q4πε0r2

r＞R2时， E2?r??Q?q4πε0r2

由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布．

r＜R1时，V1???rE?dl???R1rE1?dl??R2R1E2?dl???R2E3?dl?q4πε0R1q??Q4πε0R2

R1＜r＜R2 时， V2??rE?dl??R2rE2?dl???R2E3?dl?Q4πε0R24πε0r

r＞R2 时， V3???rE3?dl?q?Q4πε0r

也可以从球面电势的叠加求电势的分布．在导体球内（r＜R1）

V1?q4πε0R1?Q4πε0R2?Q4πε0R2

在导体球和球壳之间（R1＜r＜R2）V2?q?Q4πε0rq4πε0r

在球壳外（r＞R2）V3?

由题意 V1?V0?q4πε0R2q??Q4πε0R1Q

得V1?V0?代入电场、电势的分布得

4πε0R24πε0R1

r＜R1时，E1?0；V1?V0

R1＜r＜R2 时， E2?R1V0r2?R1Q4πε0R2r2；V2?R1V0r?(r?R1)Q4πε0R2r

r＞R2 时，E3?R1V0r2?(R2?R1)Q4πε0R2r2；V3?R1V0r?(R2?R1)Q4πε0R2r

4、电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）。当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号。假设金属片面积为50.0 mm2 ，两金属片之间的距离是0.600 mm。如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？ 解 按下按键时电容的变化量为

?11?ΔC?ε0S???

dd0??按键按下的最小距离为

Δdmin?d0?d?ΔCd20mind0ΔC?ε0S?0.152mm

5、 盖革－米勒管可用来测量电离辐射．该管的基本结构如图所示，一半径为R1的长直导线作为一个电极，半径为R2 的同轴圆柱筒为另一个电极．它们之间充以相对电容率?r?1 的气体．当电离粒子通过气体时，能使其电离．若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量．如以E1表示半径为R1 的长直导线附近的电场强度．（1） 求两极

6?1间电势差的关系式；（2） 若E1?2.0?10V?m ，R1＝0.30 mm，

R2＝20.0 mm，两极间的电势差为多少？

解 （1） 由上述分析，利用高斯定理可得E?2πrL?1ε0λL，则两

极间的电场强度E?λ2πε0r

导线表面（r＝R1）的电场强度E1?λ2πε0R1λ

两极间的电势差U??R2R1E?dr??R2R12πε0rdr?R1E1lnR2R1

（2） 当E1?2.0?106V?m?1 ，R1＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm，m 时，

U?2.52?10V

3

6、一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm2 ，厚度为0.10 mm．把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时，极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的电场强度．

解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率?r＝173，故充满此介质的平板电容器的电容

C?εrε0Sd?1.53?10?9F

（2） 电容器加上U＝12 V 的电压时，极板上的电荷

Q?CU?1.84?10?8C

极板上自由电荷面密度为

ζ0?QS?1.84?10?8C?m-2

晶片表面极化电荷密度

?1????1??ζ0?1.83?10?4C?m-2 ζ0εr??（3） 晶片内的电场强度为

E?Ud?1.2?10V?m

5-1

7、人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷。设某细胞壁厚为5.2 ×10－9 m，两表面所带面电荷密度为±5.2 ×10

－3

C／m2 ，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，

求（1） 细胞壁内的电场强度；（2） 细胞壁两表面间的电势差． 解 （1）细胞壁内的电场强度E?ζε0εr6?9.8?10V/m；方向指向细胞外．

（2） 细胞壁两表面间的电势差U?Ed?5.1?10?2V．

8、利用电容传感器测量油料液面高度．其原理如图所示，导体圆管A与储油罐B相连，圆管的内径为D，管中心同轴插入一根外径为d的导体棒C，d、D 均远小于管长l 并且相互绝缘．试证明：当导体圆管与导体棒之间接以电压为U的电源时，圆管上的电荷与液面高度成正比（油料的相对电容率为?r ）．

证 由分析知，导体A、C 构成一组柱形电容器，它们的电容分别为

C1?2πε0εrX DlndC1?2πε0εr?L?XDlnd?

其总电容

C?C1?C2?2πε0εrX2πε0εr?L?X??α?βX DDlnlndd2πε0L2πε0?εr?L?；β? DDlnlndd其中 α?Q?CU?aU?βUX

即导体管上所带电荷Q与液面高度X 成正比，油罐与电容器联通．两液面等高，测出电荷Q 即可确定油罐的液面高度．

9、平行板电容器的极板面积为S，极板间距 离为d 。现将厚度为d / 3的同样大小的金属板沿 与原两板平行的方向插入电容器中。求金属板插入 前后电容器电容的变化。

解：插入前电容器的电容为： C0?x2 x1 计算9题图

?0Sd

金属板插入后，设金属板的上下面与原电容器的极板间的距离分别为x1 和x2 ，依题意应有：

金属板的上下两个面与电容器原极板间形成的两个新电容器的电容分别为：

这两个电容应被金属板所串联，所以总电容为：

则金属板插入前后电容器电容的变化为：

?C?C?C0?3?0S2d?x1?x2?2d3C1??0Sx1C2??0Sx2C?C1C2C1?C2?3?0S2d?0Sd??0S2d四 简答题

1、为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为?r的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A，B为平板电容器的导体极板，d0 为两极板间的距离．试说明检测原理，并推出直接测量量电容C 与间接测量量厚度d之间的函数关系．如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？ 解 由分析可知，该装置的电容为

C?ε0εrSd?εr?d?δ?

则介质的厚度为d?εrd0C?ε0εrS?εr?1?C?εrεr?1d0?ε0εrS?εrε0S?1?C

如果待测材料是金属导体，其等效电容为C?ε0SCd0?d

导体材料的厚度d?d0??

实时地测量A B 间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度．通常智能化的仪表可以实时

地显示出待测材料的厚度．

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