概率论 第二版 杨振明 课后题答案(5)

?的边缘密度函数为

故U??????的密度函数为

p?(r)?????p(r,t)dt?0,??2p(t)??3t,?(1?t)4?t?0t?0。

?2?22??r(1?r)dt,??0??0,?0?r?1其它15.设?与?独立，?服从U(0,1)分布，?的分布函数为

?4r(1?r2),??0,?0?r?1其它；

F(y)?1?1y2，y?1。

?的边缘密度函数为 p?(t)?????p(r,t)dr??1?,??2???0,试求??的密度函数。

解：据题意知，

?122??r(1?r)dr,??0??0,?0?t?2?其它0?t?2?其它。

?的概率密度函数为

?1,p(x)???0,0?x?1其它14.设?,?,?有联合密度函数

?6(1?x?y?z)?4,p(x,y,z)???0,，

当x?0,y?0,z?0时其它?的概率密度函数为

?0,p(x)?F?(x)???3?2y,设U???,V??，则

y?1y?1

试求U??????的密度函数．

解：U的分布函数为，当t?0时F(t)?0；当t?0时有

t0t?x0t?x?y0F(t)?

????x?y?z?tp(x,y,z)dxdydz??dx?dy??2(1?t)?t233?t22??t0dx?t02(1?x?y?z)3dy

u??u?xy?x?的反函数为?v，雅克比行列式为 ?v?y??y?v6?dz4(1?x?y)101vJ??

uv?21v所以，p(u,v)?p?(u?(1?t)1?t(1?t)t(1?t)22??t0dx?t2t01(1?x)2u1， )p?(v)|J|?p?()p?(v)vv|v|dx

对p(u,v)关于v积分，可得

?1?t?1??(1?t)3

p??(u)?????u1p?()p?(v)dv

v|v|对F(t)求导可得U的密度函数为，当t?0时p(t)?0；

要使上式被积函数不为零，当且仅当

当t?0时p(t)?3t24(1?t)．

u??0?u?v?1?0??? v?v?1??v?1?21

故

，

p??(u)????????31?2v??1?u1???3p?()p?(v)dv???1?2vuv|v|?0,????2?3,??2??3,?3u?0,??1v1vdv,dv,0?u?1u?1其它??????1??1??2??0,1x,21?(x?1),21,x?00?x?1

1?x?2x?2

0?u?1u?1其它12

（2）

?0,?1??x,?2?1,x?00?x?2； x?2?2??的分布函数为

16.设随机变量?,?独立，?服从p?的Bernoulli分布，

（1）???的分布函数；?服从区间(0,1)上的均匀分布。试求：（2）

?2??的分布函数；（1）??的分布函数。

0,???P{?0,??x},?2???1?P{?0,??x}?P{?,??x?F?(x)?P{???x}??222??22???1P{?0,??x}?P{?,??x?222??1,?

解：据题意知，?的概率分布为

? pk 0 1 1/2 1/2 ?的分布函数为

?0,?F(y)??y,?1,?（1）???的分布函数为

y?00?y?1 y?1

0,???P{?0}P{??x},?2???11?P{?0}P{??x}?P{?}P{??x?},??2222???11P{?0}P{??x}?P{?}P{??x?},?2222??1,?x0?12?1?x0,??x?010,??x,??P{??0,??x},0??x?12?F???(x)?P{????x}??11???x??(x?P{??0,??x}?P{??1,??x?1},1?x2???22?1,?x1?21???1??(x?22 ?? 1,?0,x?0??P{??0}P{??x},0?x?1????P{??0}P{??x}?P{??1}P{??x?1},1?x?2?1,x?2?

22

x?00?x?1212),),1212

?x?1321?x?x?32

?0,?1x,?2?1?x?,??4?x1??,24??1,?x?00?x?1212；

。

?1n?(q1?q)??1q?(1?q)?q(1?q)?111?????22nn(1?q)n(1?q)?x?1322．若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为

?|x??|1?x?x?32p(x)?12?e?,???x??, ??0。

（3）??的分布函数为 试求E(?)。

F??0,??(x)?P{???x}??P{??0,???}?P{??1,??x},?1,?x?00?x?1x?1?解：E(?)????????12??|x??|xe?dx(令t?(x??)?)

??t??2???e?|t|dt0,????P{??0}P{???}?P{??1}P{??x},?1,?

x?0?0?x?1x?1?????t2e?|t|dt???2e?|t|dt?0????。

3．试求?分布?(?,r)的数学期望。

解：据题意知，设?服从?分布?(?,r)，则其概率密度函

0,??11???1??x,2?21,?

3.1 习题

?0,?1x0?x?1???,?22x?1?1,x?0x?00?x?1。x?1数为

??rr?1??x?xe,p(x)???(r)?0,???x?0x?0，

1．某人有n把外形相似的钥匙，其中只有一把能打开门。现任意一一试开，直至打开门为止。试对如下二情形求试开次数?的数学期望：（1）每次试毕不放回；（2）每次试毕放回。

解：（1）?的可能取值为1,2,?,n。

则E(?)????xp(x)dx??0x?r?(r)1xr?1e??xdx

令y??x??(r)?y?r?0(y?)er?y??dyn?1n?2n?(i?1)11P{??i}???????，

nn?1n?(i?2)n?(i?1)ni?1,2,?,n

n???(r)??1?0yerdy????(r)?dy?10yd(er?y)

r??(r)??0yr?1e?yr??(r)?(r)?r?。

故E(?)??i?i?11n?1n(n?1)n?1。 ??n221n)k?14．在长为a的线段上任意独立地取n个点，求相距最远的两点间距离的期望。

解：【法一】分别记此n个点为?1,?2,?,?n，则

（2）P{??k}?(1???1n，k?1,2,?

故E(?)??k?(1?n)k?11k?11n?1n???kqk?1k?1?1n??(?q)?

k?1k?1,?2,?,?n相互独立，且都服从区间[0,a]上的均匀分布，我

们的目的是求

23

E[max(?1,?2,?,?n)?min(?1,?2,?,?n)]

而??max(?1,?2,?,?n)和??min(?1,?2,?,?n)的密度函数分别为

而相距最远的两点间的距离为?2??3????n，因此所求期望为

E(?2??3????n)?n?1n?1n?1a。

p?(y)?n[F(y)]p(y)?nyn?10?y?a?,??an?其它?0,n?15．设?为非负整数值的随机变量，其数学期望存在，求证

?yn?11??n?()?,??aa?0,?0?y?a其它，

E(?)??P{?i?1?i}。

???p?(z)?n[1?F(z)]p(z)证：

?P{?i?1?i}??i?1?P{?j?i?j}

zn?11??n?(1?)?,??aa?0,?

0?z?a其它?P{??1}?P{??2}?P{??3}???P{??2}?P{?

??n(a?z)n?1?,n??a?0,?又

?0?z?a其它

??iP{?i?1?i}?E(?)。

6．设F(x)为某非负随机变量的分布函数，试证对任s?0有

因

a为

E(?)?，

???yp?(y)dy??0y?nyan?1ndy?nan?an?1n?1?nan?1证：

??0xdF(x)?s??0sxs?1[1?F(x)]dx。

E(?)?， 所以，

????zp?(z)dz??a0z?n(a?z)ann?1dz??nan?azn7．设随机变量?的分布函数为F(x)，且?的期望存在。求

0d(a?z)?nn证： an?an?1n(n?1)0??an?10??E(?)?证

??1?F(x)?dx?????F(x)dx。

：

E[max(?1,?2,?,?n)?min(?1,?2,?,?n)]?。

nan?1?an?1?(n1))aE?(??n?1

????xdF(x)??xdF(x)???0xdF(x)??0??xdF(x)??【法二】n个点把区间[0,a]分成n?1段，他们的长度依次记为

?xF(x)0????0??F(x)dx?x?1?F(x)???0??10??1,?2,?,?n?1。因为此n个点是随机取的，所以?1,?2,?,?n?1具有相同的分布，从而有相同的期望。

而

由均值存在得

????|x|dF(x)??，

∴ 0?AF(?A)?此

???A???B|x|dF(x)?0(当A???)， (当B???)

算

式

即

得

?1??2????n?1?aan?1，。

因

0?B(1?F(B))?以

此

代

入

|x|dF(x)?0的

计

E(?1)?E(?2)???E(?n?1)?E(?)24

E(?)???1?F(x)?dx??F(x)dx。

0??8．将长为a的棒任意折成两段，求较短一段长度的数学期望。 解：将木棒置于[0，a]区间上，

令?：棒上任意一点的坐标，则?~U(0,a)

?0∴ E(???)???max(x,y)p(x,y)dxdy

?

????dx?x??xp(x,y)dy?????dx??xyp(x,y)dy?：较短一段的长度 ????则????a????所

（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）

0???a2a2

?????dx?x??(x?a)p(x,y)dy?????dx??x(y?a???a以

a0（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号）

?????dy??y(x?a)p(x,y)dx?????dy??y(y?E??

?g(x)p(x)dx??g(x)1aadx??20x1adx??aa2(a?x)1a

dx?a4?a?2?(y?a)?t) ?a?1???12??2?(y?a)2?22edy??y?(x?a)2?22(x?a)ed9．设?为Cauchy分布C(1,0)随机变量，计算E(|?|?1)。 解：因为?为Cauchy分布C(1,0)随机变量，故?的概率密度函数为

(令???????e?t2dtp(x)?1?1?x2

?1，

?a?????a???a???。

?|?|,又因为|?|?1???1,于是E(|?|?1)?|?|?1|?|?1[法二]令U?，V???a?，则U与V相互独立，且都

服从N(0,1)，

????min(|x|,1)p(x)dx

(???)?a??(U?V)。

|x|?1??|x|?1|x|p(x)dx?1?p(x)dx

而p(u,v)??112?e?(u?v)/222，

?2?x?01?(1?x)12。

2dx??1???(1?x)2dx???11?(1?x)2dx

所以，E(U?V)?????????max(u,v)p(u,v)dudv

??ln2???2??vp(u,v)dudvu?v?0??up(u,v)dudvu?v?0

210．设随机变量?,?独立同N(a,?)分布，求证

?12?[?e????u/22du??uve?v/22dv?????e?v/2dv?uev?E(???)?a???。

?一

]

1??????e?u2du?1，

?证：[法

?,?的联合密度为

故E(???)?a?。

p(x,y)?12??2e?(x?a)2(y?a)2?x???p?， 222?2???25

?11．设随机变量?,?相互独立，同服从几何分布G(p)，试

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