概率论 第二版 杨振明 课后题答案(4)

k?1kP{??k}??i?1P{??i,??k}??j?12P{??k,??j}?P{?1?k}P{?2?n?k}P{?1??2?n}

k?1k??i?1pq21?k?2??j?1pqk?j?2

??1kk!e??1??2n?k(n?k)!e??2?(?1??2n!k?1k1?q?2k?1?1?qk?1k?pq???(2?q?q)pq?1?q1?q??k?1 (k?1,2,?)

，k?0,1,2,?,n

2.假定随机变量?1与?2相互独立，对i?1,2，?i服从参数

?n???1????k???????1??2????k??2?????2?1????n?k3.设随机向量(?,?)有联合分布如下表：

为?i的Poisson分布，试求：

? （1）?1??2的分布；

（2）已知?1??2?n时?1的条件分布． 解：（1）由卷积公式及独立性得

k-1 0 1 2 pi? ? 1 2 3 2/16 0 2/16 4/16 0 3/16 0 3/16 2/16 0 1/16 3/16 1/16 2/16 3/16 6/16 5/16 5/16 6/16 1 P{?1??2?k}??P{?i?01?i,?2?k?i}p?j k试求：（1）???的概率分布；（2）???的概率分布；（3）?12??P{?i?0?i}P{?2?k?i}

ki1k?12的概率分布．

解：（1）???的全部可能取值为0，1，2，3，4，5

??2??i?0?i!e??1?e(k?i)!?P{????0}?P{??1,???1}?2/16，

P{????1}?P{??1,??0}?P{??2,???1}?0?0?0，

?1k!ke?(?1??2)?i!(k?1)!??i?0k!i1k?12

?(?1??2)k!ke?(?1??2)

P{????2}?P{??1,??1}?P{??2,??0}?P{??3,?

k?0,1,2,?

即?1??2具有普阿松分布，且参数为?1??2

?2/16?3/16?2/16?7/16，

P{????3}?P{??1,??2}?P{??2,??1}?P{??3,?

（2）P{?1?k|?1??2?n}?P{?1?k,?1??2?n}P{?1??2?n}?1/16?0?0?1/16，

P{????4}?P{??2,??2}?P{??3,??1}?2/16?1/1，

?P{?1?k,?2?n?k}P{?1??2?n}P{????5}?P{??3,??2}?3/16．

16

所以，???的概率分布为

的密度函数．

2 3 4 5 解：据题意知，?的概率密度函数为

x2??? pk 0 2/16 7/16 1/16 3/16 3/16 p(x)??12??e?2，???x??

(2) ???的全部可能取值为1，2，3

（1）令??e，则e的分布函数为

P{????1}?P{??1,???1}?P{??1,??0}?P{??1,??1}

F?(y)?P{??y}?P{e?y}

???2/16?0?2/16?4/16

当y?0时，{e?y}??，则F?(y)?0；

当?00P{????2}?P{??1,??2}?P{??2,???1}?P{??2,?y?}时，?P{??2,??1}

F?(y)?P{e?y}?P{??lny}?F?(lny)

?P{??2,??2}?1/16?0?3/16?0?2/16?6/16所以，e的密度函数为

??，

P{????3}?P{??3,???1}?P{??3,??0}?P{??3,??1}?P{??3,???20},p?(y)?F??(y)????[F?(lny)],

?2/16?0?1/16?3/16?6/16

所以，???的概率分布为

y?0y?0??? pk 21 2 3 0,??1??p?(lny)?,?y?y?0y?0

4/16 6/16 6/16 0,?2?(lny)???11e2?,?y?2?0,?2?(lny)???1e2,?y2??（2）令??y?0y?0(3) ?的全部可能取值为0，1，4

y?0y?0

P{?P{?，

2?0}?P{??0}?3/16，

?1}?P{???1}?P{??1}?4/16?3/16?7/1621?2，则

1?2的分布函数为

P{?2?4}?P{??2}?6/16．

2所以，?的概率分布为

F?(y)?P{??y}?P{0 1 4 当y?0时，{3/16 7/16 6/16 当y?0时，

1?2?y}

? pk 21?2?y}??，则F?(y)?0；

4.设?服从标准正态分布，试求：(1)e的密度函数；（2）?12?F?(y)?P{17

1?2?y}?P{???1y}?P{??1y}?F?(?1y

所以，

n???p?(y)?F?(y)???jexp??y??j?

j?1j?1??n1?2的密度函数为

即??min(?1,?2,?,?n)的密度函数为

0,??11p?(y)?F??(y)??[F?(?)?1?F?()]?,?yy?y?0y?0

0,?33?111?2??1?2yp?(?)?p?()?(?y),?22yy?

y?0y?00,??nn?p?(y)???jexp??y??j???j?1j?1??y?0??,??y?0

6.设随机变量?有密度函数p(x)，试求下列随机变量的分布函数：（1）????1，这里P{??0}?0；（2）??tg?；（3）

0,?3?11??1?2y[p?(?)?p?()],?2yy???3??1?2?y[?2??????0,12?y3?12yy?0y?0

??|?|．

解：（1）由P{??0}?0知，当y?0?以概率1取有限值．

0,(?1y2)2y?0(1y2)2时，

12?e??12?e?],y?0??1?1?F?(y)?P{??y}?P??y??P{??0}?P?????y?????；

?0??y?0e,y?0．

当y?0时，

5.若?1,?2,?,?n相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为?1,?2,?,?n，试求??min(?1,?2,?,?n)的分布．

解：当y?0时由独立性得

?1??1?F?(y)?P??y??P????0??????y?当y?0时，

?01yp(x)dx；

F?(y)?故?的分布函数为

?0??p(x)dx．

1?F?(y)?P{??y}?P{?1?y,?2?y,?,?n?y}

nnin?

?i?1P{?1?y}??(1?F?(y))??i?1i?1?0p(x)dx??p(x)dx,?1????y?0?nF?(y)????iy???p(x)dx,(e)?exp(?y??i)?0i?1??1p(x)dx,?y?（2）

y?0y?0． y?0n???F?(y)?1?exp??y??i?

i?1??F?(y)?P{tg??y}当y?0时F?(y)?0．求导得?的密度函数为，当y?0时p?(y)?0；当y?0时

??????P?{k?????k??arctgy})???

2?k??????18

k?????k??arctgyk???2p(x)dx

（3）当y?0时，F?(y)?0；当y?0时，

F?(y)?P?|?|?y??P??y???y???y?yp(x)dx?y,?p?(y)??2?y,?0,?0?y?11?y?2。 其它．

故?的分布函数为

??0,y?0F?(y)??y

????yp(x)dx,y?0．7．若?,?为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求?????的分布密度函数．

解：?与?的密度函数为

px)?p?1,0?x?1?(?(x)?? （1）

?0,其它由卷积公式及独立性得?????的分布密度函数为 y

p?(y)?????p?(x)p?(y?x)dx （2）

2 C

把（2）与（1）比较知，在（2）中应有0?x?1，

0?y?x?1，满足此不等式组的解(x,y) 构成

D

图中平面区域平形四边形ABCD，当0?y?1时 1 B

0?x?y ,当1?y?2时y?1?x?1．所以当

A0 1 x

0?y?1时（2）中积分为 py?(y)??01?1dx?y

当

1?y?2时

，（

2

）

中

积

分

为

p?(y)??1y?11?1dx?2?y;

对其余的y有p?(y)?0．

所以，?????的分布密度函数为

19

8．设随机变量?1,?,?r相互独立，都服从参数为?的指数

分布，试证?1????r服从?分布?(?,r)。

证明：

9．在(0,a)线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函

数．

解：设(0,a)在内任意投两点?1,?2，其坐标分别为x,y，

则?1,?2的联合分布密度为

?0,(x,y)?(0,a)?(0,a)p(x,y)???1??a2,(x,y)?(0,a)?(0,a)．

设??|?1??2|，则?的分布函数为，当z?0时

F?(z)?0；当z?a时F?(z)?1；当0?z?a时，

F?(z)?P{|?1??2|?z}???p(x,y)dxdy?1?z?x?y?za2??dxdy?z?x?y?z0?x,y?a0?x,y?a，

积分S为平面区域ABCDEF的面积，其值为

a2?(a?z)2?2az?z2，所以

F22?(z)?(2az?z)/a.

所以，两点间距离的分布函数为

?0,z?0F?2/a2?(z)??(2az?z),0?z?a. ??1z?a10．若?,?是独立随机变量，均服从N(0,1)，试求

U????,V????的联合密度函数．

解：作变换，令s?x?y,t?x?y，得

?

x?12(s?t),y?12(s?t),|J|?12．由?与?独立知，它们

的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为

12pUV(s,t)?1e?2x?1e?12y2?|J|2?2???12???s?t?22????s?t?????1???2??2???2?e?12

21?2??1?14(s2?t2)?1?s?2?4?e?12?????2??2e?12?t????2??2??2e?pU(s)pV(t)

所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）． 11．设?,?相互独立，分别服从N(0,1)，试证??

??服从

柯西分布．

证：p?(x)?p?(x)?1e?12x2，

2?122p??(x,y)?12(x?y)2?e?

由求商的密度函数的公式得

p?(y)?????|x|p(xy,x)dx???1?122(x2y2?x2)??|x|2?edx?22???0xe?12x(1?y2)dx ?1?2?1??11?y2?e?x(1?y2)??2???0?1???y???

(1?y2, ?)??

??服从柯西分布．

12.若?,?相互独立，且同服从指数分布，密度函数为：

20

)???e?xp(xx?0，证明：与

??0x?0?+??相互独立．

??z1证：令?u?????x?y?? 即??x 逆变换?v????z?2?y?z1z2??x??1?z2 z1??y?zJ?(1?z 122)?1?z2 故

pz1z2???,?(z1,z2)?P()|J|?e?z1z1?1?z,z121?z2(1?z,z1?0,2)2

而p???(z1)???0e?z1z1(1?z?z?z11e,z1?0

2)2dz2

p?(z2)???z10e?z1?(1?z2dz1?1?0

2)(1?z2,z22) 因p???,?(z1,z2)?p???(z1)p?(z2)对?z1,z2

?? 故 ??? 与

??独立．

13.设平面上随机点的直角坐标(?,?)有联合密度函数

p(x,y)?222?(1?x?y)，0?x2?y2?1

求此点极坐标(?,?)的联合密度与边缘密度函数。

解：本题所涉及的变换x?rcost,y?rsint是(?,?)的值域0?x2?y2?1到(?,?)的值域(0,1)?[0,2?)间的一

一变换（坐标原点除外），其雅克比行列式J?r。

由变量变换法，得极坐标(?,?)的联合密度为

?p(r,t)??2??r(1?r2),0?r?1,0?t?2?，

??0,其它

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