概率论 第二版 杨振明 课后题答案(3)

6. 设(?,?)的联合密度函数为 当1?m?n时

P{?1?m,?2?n}?P{??m,??n?m}?P{??m}P{??n p(x,y)?cxy2,0?x?2,0?y?1.

试求： （1）常数c；（2）：?,?至少有一个小于12的概率.

解： 由联合密度函数的规范性知：

?2?1200cxydydx?1

即

?2cx03dx?1 ?2c3?1

解得c?32．

??(?,?)的联合密度函数为

p(x,y)?32xy2 （2）?,?至少有一个小于

12的概率p为：

p?P{??112}?P{??12}?P{??12,??2}

1111??232??223122220?02xydydx0?02xydxdy???3002xydxxy

1111??2x2222202y3|10dx??2304yx|0dy??2304yx|20dy ?23128

7. 在可列重伯努利试验中，以?i表示第i成功的等待时间，试求

(?1,?2)的：

1）

联合分布; (2) 边缘分布.

（注：?1表示第一次成功的等待时间，?2表示第二次成功的等待时间，???1??2表示第一次成功到第二次成功的等待时间．根据无记忆性，?服从几何分布，即忘记了第一次成功的信息．）根据题目要求，本题解答如下

解：(1)设一次试验中成功的概率为p 失败的概率为q； 因为?1,?2服从几何分布具有无记忆性所以：

11

?qm?1pqn?m?1p?qn?2p2

(2)边缘分布

a. ?1的边缘分布：

根据边缘分布的定义当?1取值为m时的边缘分布．即让?2遍历所有可能的值m?1,m?2,?n于是有：

P{?1?m}?qm?1p2?qmp2???qn?2p2

n?2??qip2?pqm?1

i?m?1即?m?11的边缘分布为pm.?pq(1?m)

b. ?2的边缘分布：

当第二次成功出现在第n次时 ，即让?1遍历可能的值

1,2,3,?n?1．而?1取每一个值的概率均为 qn?2p2，于是有

P{?22?n}?(n?1)qn?2p

即??(n?1)qn?222的边缘分布为：p.np,n?2

8．设(?,?)服从区域D?{(x,y):0?x2?y?x?1}上的

均匀分布．试求： (1) ?的边缘分布；（2）P{??12}

解

：

（

1

）

因

为

(?,?)服从区域

{D?{(x,y):0?x2?y?x?1}上的均匀分布，所以有

?1p(x,y)???m(D),(x,y)?D

??0,其它并且有m(D)?2??dxdy??120(x?x)dx?1x?12?13?16

0?x?y??当(x,y)?D时p(x,y)?6．于是有?的边缘分布为：

p?(x)??????p(x,y)dy??x2x6dy?6(x?x)2

?1?r2??1?2x?(0,1)

（

2

）

法

（

1

12???2?2(1?r)?1?e??2?2?1?d?

??0S2?）：

当???时，P{(?,?)?D(?)}?1，由此得

P{??

12}??112p?(y)dy???121yy6dxdy??16(y?2y)dy?74??2?0212Sd??2??1?1?r22．

法（2）： P{??而

12}?1?P{??11}?1?F() 2210. 设随机向量有联合密度函数 p(x,y,z)?xze?(x?xy?z), x,y,z?0

F()?2112?206(x?x)dx?122?2126(1234?x)dx?7422?34

(1).?的一维边缘密度；（2）?的一维边缘密度（3）(?,?)的二维边缘密度

解：（1） ?的一维边缘密度即把yz看作常量得到：

所以P(??)?1?2???2

9. （选学） 设（?,?）为二维正态随机向量，求落入区域

p?(x)???0?x????0??xzeze?(x?xy?z)dydz dy

D={(x,y):

(x?a)2??22-

2r(x?a1)(y?12a2)???+

?xe ?e?0?z0???0e?xy?x(y?a2)2???ze?z?zdz

?z?2 ?}内的概率． ?e?x(ze

?e)|0

??2?e解：作变换，令x?a??cos?,y?b??sin?，则|J|??椭圆区域为

2?cos2?2rsin?cos?sin??22?????? ?22?1?2?2???1?x 即得?的一维边缘密p?(x)?e?x．

（2）?的一维边缘密度，把x,z看作常量．即

p?(y)????0??0????0xze?(x?xy?z)dxdz dzdx

记

cos?2?12?2rsin?cos??1??sin?22?22?s

2?xe1?(x?xy)???0ze?z则???/s，且

?(1?y)12e?(x?xy)|0

??P{(?,?)?D(?)}?2??1?

121?r2??2x0??12(1?r)2?S22d??s0e?d??(1?y)2 y?0

?2??1?

121?r2??2x0?(1?r)S22?S22即??的一维边缘密度: p?(y)??21(1?y)2

Se2(1?r)d?（3）(?,?)的二维边缘密度此时z为常量．

012

有： p????xze?(x?xy?z)dy

0?(x?z) ?xzex?(x?z)???0e?(xy)dxy

?24y(1?x?y),???12y(1?y)2?0,?

0?x?1?y其它?2(1?x?y),???(1?y)2?0,?0?ze (x?0,z?0) （1）所以，???(x?z)12条件下?的条件密度为

即(?,?)的二维边缘密度p??(x,y)?ze2.6 随机变量的独立性

4．设随机变量(?,?)的联合密度函数为

p?|?p(,y)2(y|)?12p?()2111?6y(1??y)?2,???13(1?)?2?0,?12；

0?y?12其它p(x,y)?24y(1?x?y)，x,y?0且x?y?1，

试求（1）??条件密度。 解：据题意知，

12条件下?的条件密度；（2）??12条件下?的

??24y(1?2y),???0,?（2）??0?y?其它12条件下?的条件密度为

?,?的边缘概率密度函数分别为

?1?x???24y(1?x?y)dy,p(x,y)dy??0?0,?p?(x)??0?x?1其它??1p(x,)12p?|?(x|)?12p?()21?2(1?x?)?2,???12(1?)?2?0,?。

?4(1?x)3,??0,?p?(y)?0?x?1其它，

0?x?1????1?y???24y(1?x?y)dx,p(x,y)dx??0?0,?0?y?1其它??4(1?2x),2???0,?0?x?其它12其它?12y(y?1)2,??0,?故当0?x?1时，

0?y?1其它，

5．设(?,?)是连续型随机变量，?有密度函数

p1(x)??xe

2??x，x?0

p?|?(y|x)?p(x,y)p?(x)而?服从区间(0,?)上的均匀分布，试求?的密度函数。 解：据题意知，

?24y(1?x?y),???4(1?x)3?0,?

当0?y?1时，

?6y(1?x?y)0?y?1?x?,??(1?x)3?其它0,?0?y?1?x其它p?|??1?,(y|x)??x??0,0?y?x其它

由于p?|?(y|x)?

p(x,y)p?(x)，故

p?|?(x|y)?p(x,y)p?(y)13

p(x,y)?p?|??12??x???xe,(y|x)p?(x)??x?0,?0?y?x其它p?(y)?，

????y???8xydx,p(x,y)dx??0?0,?0?y?1其它?4y2,???0,??2e??x,???0,0?y?x其它，

因为p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立． 7.设随机向量(?,?)的联合密度函数

所以，?的密度函数为

p?(y)??????2??x????edx,p(x,y)dx??y?0,?y?0其它?1?xy?,p(x,y)??4??0,试证?与?不独立，但?证：当|x|?1时，

22|x|?1,|y|?1其它，

??e??y,???0,y?0其它。

与?是相互独立的．

6．设随机变量(?,?)的联合密度函数为

?4xy,（1）p(x,y)???0,0?x,y?1其它；

p?(x)?????p(x,y)dy??1?11?xy4dy?12，其余

p?(x)?0．

?8xy,p(x,y)?（2）??0,0?x?y?1其它，

同理当|y|?1时，p?(y)?1/2其余p?(x)?0， 当

试问?与?是否相互独立？为什么？

解：（1）?的边缘概率密度函数为

1???4xydy,p(x,y)dy??0?0,?0?|x|?1, 0?y?1时有

p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立．

p?(x)?????0?x?1其它?2x,???0,0?x?1其它现试用分布函数来证?2与?独立．?22的分布函数记为

，

同理，?的边缘概率密度函数为

F1(x)，则当0?x?1时，

F1(x)?P{?0?y?12?x}?P{?p?(y)?，

??????4xydx,p(x,y)dx???0?0,?1x???；

x}?0?y?1其它?2y,???0,?x?x12dx?x其它2同理可求得?的分布函数F2(y)，得

因为p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?独立． （2）?的边缘概率密度函数为

1???8xydy,p(x,y)dy??x?0,??0,?F1(x)??x,?1,?0?x?122x?00?x?1x?1,

?0,?F2(y)??y,?1,?y?00?y?1y?1,p?(x)?????0?x?1其它?4x(1?x2),??0,?(?其它,?)联合分布函数记为F3(x,y)，则当

，

同理，?的边缘概率密度函数为

0?x?1,y?1时

F3(x,y)?P{?14

2?x,?2?y}?P{?2?x}?x

同理得当0?y?1,x?1时，F3(x,y)?y；当

?P{??1,???1}?P{??1}P{???1}?10?x?1,0?y?1时

同理可证 P{???1,??1}?P{???1}P{??1}，

F3(x,y)?P{?

=

2?x,?2?y}?P{?x???x,?y???y}P{???1,???1}?P{???1}P{???1}.

?x?xds?yy1?st4?dt?xy 所以?与?相互独立．用同样的方法可证?与?也相互独

立．但

合起来写得

?0,?x,??F2(x,y)??y,?xy,???1,x?0或y?00?x?1,y?10?y?1,x?10?x?1,0?y?1x?1,y?1

P{??1,??1,??1}?P({??1,??1}?[{??1,??1}?{?

?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}?而P{??1}P{??1}P{??1}?14，

18，

不难验证F3(x,y)?F1(x)F2(y)对所有x,y都成立，所以?与?独立．

8．若?,?相互独立，都服从?1与1这两点上的等可能分布，令????，试证?,?,?两两独立但整体不独立．

证：由题设得

22所以，?,?,?只两两独立而不相互独立． 2.7 随机变量函数的分布

1．设?与?相互独立，同服从参数为p的几何分布，试求：（1）???的分布；（2）???的分布．

解：据题意知，?与?的概率分布分别为

P{??1}?P({??1,??1}?(???1,???1})

P{??i}?q11111????22222（1）

k?1i?1p,i?1,2,? p,j?1,2,?

?P{??1,??1}?P{???1,???1}?，

P{??j}?qj?1P{???1}?P({??1,???1}?(???1,??1})

k?1P{????k}??P{?i?1?i,??k?i}??P{?i?1?i}P{??k?11111?P{??1,???1}?P{???1,??1}?????22 222．

k?1P{??1,??1}?P({??1}?[{??1,??1}?(???1,???1i}])?1k?i?1??qpqp?k?1?qi?1k?2p2?(k?1)qk?2p，

2

i?11 1}P{??1}2{,????P{??1,??1}?P{??1}P{??1}?k??1,P4，

(2)令?????，所以

P{??1,???1}?P({??1}?[{??1,???1}?(???1,??1}])k?1k

{??k}??{?i?1?i,??k}??{?j?1?k,??j}

15

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