概率论与数理统计习题解答(8)

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第四章 第36页 (共62页)

1101(X?2)?(X?20) 近似地服从标准正态分布. 于是 ?kk?10.1580.05nP(19.?9X?20.1)?20X?202?0.1?19.9?20?P????0.1580.?1 58?0.158??(0.63?3?)?(0.633)?2?(0.63?3)?1?20.?7?3510.47

4. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差

是相互独立的，且它们都在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布.

(1) 若将1500个数相加，试求误差总和的绝对值超过15的概率；

(2) 多少个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率. 解 设Xi表示一个加数的误差，则Xi~U(-0.5, 0.5), E(Xi) =0, D(Xi)=1/12 (1) 根据独立同分布中心极限定理，随机变量

1n???1500i?1(Xi?E(Xi))11500(Xi?0) ?i?11500/12115001?(X?0)?X?ii?111.181500/12近似地服从标准正态分布. 于是

P(?15?X?15)

X15? ??15?P?????11.1811.1811.18???(1.34)??(?1.34)?2?(1.34)?1?2?0.9099?1?0.8198 因此所求的概率为：

1-P(-15

(2) 由题意，设有n个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.90,X = nXi. 由独立同分布的中心极限定理，随机变量准正态分布. 则

1??n(Xi?E(Xi))?i?1n1X近似地服从标n/12??10P(X?10)?P(?10?X?10)?P???n/12X?n/1210?? = 0.90 n/12??10???10??10??????2???????1?0.9?n/12??n/12??n/12?

?10?即????0.95.?n/12?

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概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第四章 第37页 (共62页)

查表得 解得：n=443

10=1.645, n/12即443个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率

5. 为了确定事件A的概率，进行了一系列试验. 在100次试验中，事件A发生了36次，

如果取频率0.36作为事件A的概率p的近似值，求误差小于0.05的概率.

解 (删除)

6. 一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统运行期间，每个部件损坏的概

率为0.1，又知为使系统正常运行，至少有89％的部件工作.

（1） 求系统的可靠度（系统正常运行的概率）； （2） 上述系统由n个相互独立的部件组成，而且要求至少有87％的部件工作，才能

使系统正常运行，问n至少为多在时，才能保证系统的可靠度达到97.72％？

解 设X表示正常工作的部件数，X~B(10000, 0.9),

(1) 所求的概率为P(X?0.89?10000), 由于n比较大，可以使用中心极限定理，由于

E(X)?np?9000,D(X)?np(1?p)?900，近似地有，X~N(9000, 900), 则 P(X?8900) ?1?P(X?8900)

?1?P(X?90008900?9000?)900900?1????3.33??1??1???3.33?????3.33??0.9996

(2) 根据题意, 设X为正常工作的部件数，则E(X)?np?0.9n,

D(X)?np(1?p)?0.09n 根据中心极限定理, 近似地有X~N(0.9n, 0.09n)

P(X?0.87n)?1?P(X?0.87n)?X?0.9n0.87n?0.9nn? ?1?P? ????0.09n??100.09n????n?n??1?????1?1?????10???10???????n?????10???0.9772??n?2.0, n=400, 查表得 10 即, n至少为400时, 才能保证系统的可靠度达到97.72%.

7. 某单位有200台电话分机，每台分机有5％的时间要使用外线通话，假定每台分机是否

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概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第四章 第38页 (共62页)

使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线才能以90％以上的概率保证分机使用外线时不等待？

解 设X为某时刻需要使用外线的户数（分机数），显然X~(200, 0.05)， E(X) = np = 10, D(X) = np(n-p) = 9.5.

设k是为要设置的外线的条数，要保证每个要使用外线的用户能够使用上外线，必须有k≥X. 根据题意应有：

P(X?k)?0.90

这里n=200，较大，可使用中心极限定理，近似地有X~N(10, 9.5)：

P(X?k)?P?经过查表，?X?10k?10??k?10????0.9 0????9.59.?5?9.5??k?10?1.29,k?13.97， 取k = 14 9.5即至少14条外线时，才能保证要使用外线的用户都能使用外线的概率大于95%.

8. 设μn为n重伯努利试验中成功的次数，p为每次成功的概率，当n充分大时，试用棣

莫弗－拉普拉斯定律证明

P(|??nn??p|??)?2????1. ???n?pq?式中，p＋q＝1；??x?是标准正态分布的分布函数.

证明 由题意，?n~B(n,p), E(?n)?np,D(?n)?npq, 当n很大时，?n近似服从正态分布，即?n~N(np,npq), 或者使用标准化的随机变量： 因此，由棣莫弗-拉普拉斯定理，有

?n?npnpq~N(0,1), q?1?p

???P?n?p??? ?n????npn??n=P??n?np?n???P???

?npqnpq?????n?npnn??P?????????pqpqnpq????n?n?公式4.3??????????????pqpq????

??n??n?????1?????pq??????pq????????????n??2????pq???1??

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概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第四章 第39页 (共62页)

9. 现有一大批种子，其中良种占

1，今在其中任选4000粒，试问在这些种子中，良种所4占比例与

1之差小于1％的概率是多少？ 4解 设X为4000粒种子中良种粒数，则所求的概率为：

P??X1???0.0?1 40004?? 因为，X ~ B(4000, 0.25), 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有

?X1?P???0.01??40004?

?P?X?1000?40?40?40?????????????4000?0.25?0.75??4000?0.25?0.75??2??1.46??1?0.8556

10. 一批种子中良种占

11，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与66相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？

解 设X为6000粒种子中良种粒数，设所求的差异为p, 则所求的概率为：

P??X1???p??0.99 60006?? 因为，X ~ B(6000, 1/6), E(X) = np = 1000, D(X) = np(1-p)= 2500/3, 由棣莫弗-拉普拉

斯定理，有

?X1?P???p??60006??P?X?1000?6000p?

?6000p???6000p? ?????????2500/3??2500/3??6000p??2????1?0.99?2500/3??6000p???0.995

?2500/3?6000p查表可得 ?2.575,

2500/3因此 ??解得p??0.0124

6000 由于 0.012?460?00 所以, 良种的粒数大约落在区间(926, 1074)之间.

52.575?6000?16?6 39

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第五章 第40页 (共62页)

第五章 数理统计的基本概念

1. 在总体N(52，632)中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之

间的概率.

X??X?52?~N(0,1)?

?/n6.3/36?50.8?52X?5253.8?52???????????????P(50.8?X?53.8)?P??

6.3/366.3/366.3/36??53.8?5250.8?52??()??()6.3/366.3/36 ??(1.714)??(?1.14)解 由题意，由定理1 (1),

??(1.714)??(1.14)?1?0.8293

2. 在总体N(80，202)中随机抽取一容量为100的样本，求样本均值与总体均值的绝对值

大于3的概率是多少？

解 这里总体均值为?=80, ?=20, n=100, 由定理1(1)

X???/n?X?8020/100?1(X?80)~N(0,1) 2 由题意得：

P(X?80?3)?1?P(X?80?3)

?1?P(?3?X?80?3)3???31?1?P??X?80??2??22?1?(?(1.5)??(?1.5)) ?2?2?(1.5)?2?2?0.9332?0.1336??

3. 求总体N(20，3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率. 解 由定理2(1),

X?Y?(?1??2)?1n1?1n2?X?Y3110?115?0.8165X?Y~N(0,1)

??由题意，所求的概率为

P(X?Y?0.3)?1?P(?0.3?X?Y?0.3)

???1?P?0.3?0.8165?0.8165X?Y?0.3?0.8165 ?1?(2?(0.245)?1)?2(1?0.5987)?0.8026????

4. 设总体X的容量为10的样本观测值为4.5，2.0，0，1.0，1.5，3.4，4.5，6.5，5.0，0，

3.5，4.0. 试分别计算样本均值X与样本方差S2的值.

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