概率论与数理统计习题解答(5)

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第21页 (共62页)

?x?y,???????x?y???f(x,y)??

?0,?????????其他，求边缘概率密度fX(x)与fY(y)，并判断随机变量X与Y是否相互独立. 解 先计算fX(x), 当x<0或者x>1时, fX(x)?0 当1≥x≥0时, fX(x)??102x?ydy?xy?1y210?x?1 2 再计算fY(y), 当y<0或者y>1时, fY(y)?0

1211?y? 当1≥y≥0时, fY(y)??x?ydx?xy?x02021 由于f(x,y)?x?y?fX(x)fY(y)??x???1??1?y????, 所以随机变量X,Y不独立 2??2?41. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

?2e?x?2y,?????x?0?y?0f(x,y)??

?0,?????????其他求随机变量Z＝X－2Y的分布密度. 解 先求Z的分布函数F(z)

F(z)?P(Z?z)?P(X?2Y?z)?

D:X?2Y?z??f(x,y)dxdy

y Dx?2y=z zy 0x当z<0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x?2y≤z}

求得F(z)????z?2dy?z?2y02e?x?2ydx

1ze 2?2?ze?2y?e?4y?zdy??2?? 当z≥0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x?2y≤z}，

D0zF(z)??dy?0??z?2y02e?x?2ydx

x?2y=z x??1?2?e?2y?e?4y?zdy?1?e?z

02由此, 随机变量Z的分布函数为

?1?z1?e,z?0??2 F(z)??1?ez,z?0??2因此, 得Z的密度函数为：

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第22页 (共62页)

?1?ze,??2f(z)???1ez,??2z?0z?0

42. 设随机变量X和Y独立，X～N(???)，Y服从［－b，b］(b>0)上的均匀分布，求

随机变量Z＝X＋Y的分布密度. 解 解法一 由题意，

2F(z)??????fX(z?y)fY(y)dy??b12???(z?y?a)2?be2?2?1dy 2b则

令(z?y?a)/??t,dy???dt,y?[?b,b],?t22b?a1z??1F(z)?ez?b?a?2b?2?dt?1b?ab?a??z??????z???? ?2b解法二

F(z)??????fX(x)fY(z?x)dx,?-b

1??a?z?b???a?z?b???1???1??????????2b??????????1??a?z?b??a?z?b??????????2b?????????

43. 设X服从参数为

11的指数分布，Y服从参数为的指数分布，且X与Y独立，求Z＝X23＋Y的密度函数.

x?0x?0???0,?0,解 由题设，X~fX(x)???1x, Y~fY(y)???1x

1132???2e,x?0?3e,x?0并且，X，Y相互独立，则FZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx

由于fX(x)仅在x>0时有非零值，fY(z?x)仅当z?x>0，即z>x时有非零值，所以当z<0时，fX(x)=0, 因此fZ(z)=0.

当z>0时，有0>z>x, 因此

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第23页 (共62页)

FZ(z)??z01?1(z?x)x1?12ee3dx 23zz??1z?1x?z??e63dx?e3?e2 60

44. 设（X，Y）的联合分布律为

X 0 1 2 3 Y 0 0 0.05 0.08 0.12 1 0.01 0.09 0.12 0.15

2 0.02 0.11 0.13 0.12 求：（1）Z＝X＋Y的分布律；（2）U＝max（X，Y）的分布律；（3）V＝min（X，Y）的分布律.

解 (1) X+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0

P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06

P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12 Z=X+Y的分布如下

Z p

同理，U=max(X,Y)的分布如下 U∈{0,1,2,3}

U p

同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V∈{0,1,2}

V p

0 1 2

0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 4 5 0.06 0.19 0.35 0.28 0.12 0.15 0.46 0.39 0.28 0.47 0.25

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第24页 (共62页)

第三章 随机变量的数字特征

1. 随机变量X的分布列为

X P

－1 3

10

2

1 1 2

1111 66124

求E(X)，E(－X＋1)，E(X2)

111111解 E(X)??1?13?0?6?2?6?1?12?2?4?3

11111E(?X?1)?(?(?1)?1)?13?(?0?1)?6?(?2?1)?6?(?1?1)?12?(?2?1)?4?23

2或者E(?X?1)?E(?X)?E(1)??E(X)?1??13?1?3 222112111E(?X2)?(?1)2?13?(0)?6?(2)?6?(1)?12?(2)?4?3524

2. 一批零件中有9件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出

的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望.

解 设取得合格品之前已经取出的废品数为X, X的取值为0, 1, 2, 3, Ak表示取出废品数为k的事件， 则有：

1C3kC9P(Ak)?k?1,k?0,1,2,3,C12C12?kE(X)??k?0k?P(Ak)?366?0.3220

3. 已知离散型随机变量X的可能取值为－1、0、1，E(X)＝0.1，E(X2)＝0.9，求P(X=?1)，

P(X＝0)，P(X＝1). 解 根据题意得：

E(X)??1P(X??1)?0P(X?0)?1P(X?1)?0.1E(X2)?(?1)2P(X??1)?02P(X?0)?12P(X?1)?0.9 可以解得 P(X??1)=0.4, P(X=1)=0.5,

P(X=0) = 1? P(X??1)?? P(X=1) = 1?0.4?0.5=0.1

4. 设随机变量X的密度函数为

?2(1?x),???????x???f(x)??

???????????????其他.求E(X).

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第25页 (共62页)

解 由题意, E(X)?1, xf(x)dx?2(1?x)xdx?????03?1

5. 设随机变量X的密度函数为

?e?x,?????x?0?f(x)??

??????????x????求E(2X)，E(e解 E(2X)??2x).

?????2xf(x)dx??2xe?xdx

0?x?0?2xe?|??e?xdx?2?0?e?x|?0??2

0??E(e

?2X)??e?2xf(x)dx??????011e?2xe?xdx??e?3x|??033

6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间［a，b］上，求球的体积的数学期望. 解 由题意，球的直接D~U(a,b), 球的体积V=43? 因此，E(V)??D2?3

????Vf(x)dx??ba4?x?1???dx 3?2?b?a3??24(b?a)x4|?0??24(a?b)(a2?b2)

7. 设随机变量X，Y的密度函数分别为

?2e?2x,?????x?0?fX(x)??

?????????????x?????4e?4y,????y??0?fY(y)??

????????????y???求E(X＋Y)，E(2X－3Y2). 解 E(X?Y)?E(X)?E( Y)????????xfX(x)dx???2x0????yfY(y)dy??2xe0dx??4ye?4ydy

???113??244

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