燕山大学毕业设计：EIT图像重建技术研究(7)

第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

?V??F(??)?O((??)2) (3-15) ???V?S?? (3-16)

忽略上式右半部分的第二项，等式(3-15)可以简化为线性形式： 应用有限元法将传输管道两相流电导率分布变化??剖分为m个离散值，每个离散值与图像中的一个单元像素相对应，设可以获得n个电压测量值，则此时S??F(?)/??为一个n?m的矩阵，这个矩阵称作雅克比矩阵(Jacobian matrix)，在有的文献中也称作灵敏度矩阵(sensitivity matrix)。应用有限元法求解EIT正问题的最终目的就是求解出雅克比矩阵S，从而获取敏感场信息，以此来进行逆问题的求解[40]。

3.4.2 有限元法基本原理

有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具[41]。有限元法的思想最早由Courant于1943年提出。50年代初期，由于工程分析的需要，有限元法在复杂的航空结构分析中最早得到应用。有限元法这个名称则由Clough于1960年首先提出。1965年Winslow首先将有限元法应用于求解工程电磁场问题。1969年Silvester将有限元法推广到时谐电磁场问题。有限元法在原理上是有限差分法和变分法中里兹法的结合。有限元法的主要思想是将所要分析的连续场分割为很多较小的区域(称为单元和元素)，这些单元的集合体就代表原来的场，然后建立每个单元的公式，再组合起来，就能得到连续场的解答，这是一种从部分到整体的方法，使分析过程大为简化，从数学角度来说，有限元法是从变分原理出发，通过区域剖分和分片插值，把二次泛函的极值问题转化为普通多元二次函数的极值问题，而后者又等价于一组多元线性代数方程的求解。有限元法是将所考虑的连续场分割为有限个单元，然后用比较简单的函数来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的解都满足边界条件，而是在求得集合体的代数方程之后，再引进边界条件，因为边界条件不进入单个有限单元的方程，所以对内部和边界上的单元能够采用同样的函数，把边界条件引入集合体的方程，这一过程也比较简单，因为在变分法中自然边界条件隐含地得到满足，只需要考虑强迫边界条件。在有限元法中，最终求解的是多元函

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数的极值方程，因此它的系数矩阵总是对称的，对于正定的变分问题，有限单元离散化后保持了正定性。而且有限元法的系数矩阵是稀疏的。下面按照二维有限元分析计算过程的步骤来简要介绍有限单元这一方法。 FEM分析步骤一般包括：

(1) 根据实际问题定义求解域，该求解域是连续的。

(2) 区域剖分，即将求解域离散为具有不同大小和形状的有限个单元，使求解域变为离散的。

(3) 选取单元内的场变量插值函数。

(4) 定状态变量及控制方程，即将包含问题状态变量边界条件的微分方程化为等价的泛函形式。

(5) 根据有限元剖分方式，将建立的单元方程进行再组合，形成整体方程，从而可以得到连续场域的离散解。

3.4.3 有限元法模型

如前所述，如果使用有限元法手动去逐步对EIT正问题进行求解，整个过程是相当复杂的，因此在本文中利用EIDORS 3.5(Electrical Impedance Tomography and Diffuse Optical Tomography Reconstruction Software)软件在Matlab环境下对传输管道进行有限元建模并对EIT正问题进行求解。

EIDORS 3.5是一个用于电阻抗层析成像(Electrical Impedance Tomography, EIT)和散射光学层析成像(Diffuse Optical Tomography, DOT)图像重建的软件包。它具有可自由编程、操作简单、易于修改等很多优点。该软件包括二维网格剖分、求解正问题和图像重建及显示等Matalab程序包。

使用EIDORS 3.5软件包对传输管道某一测量截面进行有限元建模。首先在Matlab中输入run path\\eidors\\startup.m，运行EIDORS 3.5软件包的运算准备函数，其中path代表EIDORS 3.5软件包的存储路径。然后新建一个M文件，在其中输入如下语句：

imdl_2d=mk_common_model(?c2s?,16); show_fem(imdl_2d.fwd_model);

其中函数mk_common_model()函数为构建一个点电极有限元模型。其

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第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

中参数c2s的含义为：“c”代表剖分的单元密度，a为最稀疏，按字母表顺序依次越来越稠密，g为最稠密；“2”代表二维有限元模型；“s”代表所显示的有限元模型为矩阵模型，圆形模型为c。函数mk_common_model()的另一个参数“16”为构建的ERT有限元模型的点电极数目。

mk_common_model()函数中不同参数所构建的EIT有限元模型如图3-2所示：

?b2c?,16 ?c2c?,8 ?d2c?,16

?b2s?,16 ?c2s?,8 ?d2s?,16

图3-2 不同参数所对应的EIT有限元模型

从这些图可以可能出通过改变函数mk_common_model()中的参数可以很方便的控制有限元模型的形状、电极个数及网格细分程度。

本文中所选取的传输管道有限元模型如图3-3所示。构建该有限元模型的函数及参数为：mk_common_model(?e2s?,16)。忽略电极形状和大小，选取点电极模型。电极编号从上半部分开始按顺时针顺序依次进行编号。将传输管道有限元模型剖分成64?32?2048个单元。单元的编号从最下面的一

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行的左起第一个单元开始，然后在该行中往右依次编号。当整行都编号完毕时，从上面一行的左起第一个单元继续进行编号，直到所有的单元都编号完毕。

116234(2047)(2048)515614713(1)(2)12111098图3-3 本文选取EIT有限元模型

3.4.4 使用EIDORS 3.5进行EIT正问题求解

使用EIDORS 3.5对EIT正问题进行求解，对传输管道有限元模型进行单元数目、电导率值、形状及电极数目进行设置以后，只需要一个calc_jacobian()函数即可计算出代表微通道敏感场信息的雅克比矩阵S。计算过程简单快速，而且程序的参数易于修改。

在该有限元模型中，代表边界测量电压的参数vh.meas和vi.meas为208×1的矩阵，代表传输管道有限元模型各单元电导率分布的参数img.elem_data为2048×1的矩阵，改变该矩阵中的元素值可以传输管道内电导率的分布进行修改。计算得到的雅克比矩阵S为一个208×2048的矩阵，它代表电导率分布于边界测量电压之间的关系，如下式所示：

vi.meas=S*img.elem_dat (3-17)

由此可见有限元法可以将电导率分布和边界电压测量值之间的关系转换为相对运算方便的线性关系。

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第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

按前边设定的条件，通过Matlab仿真，可得到208×2048的灵敏度矩阵，图3-4为其中一部分。

图3-4 EIT正问题求解得灵敏度矩阵

3.5 本章小结

本章主要对用于传输道多相流检测的电阻抗层析成像技术的数学模型和正问题求解方法进行了介绍。首先给出了建立EIT数学模型的理论基础，并对检测传输管道多相流的EIT技术的数学模型进行了描述。然后介绍了求解EIT问题的求解路线。而后引出了求解EIT最常用的方法——有限元法，并对其求解EIT的步骤进行了分析。为了建立准确的电极模型，得到更加精确的图像，接下来又对如何能够减小电极与微通道两相流体之间的接触阻抗的影响进行了研究。最后利用EIDORS软件构建了微通道测量截面的有限元模型并对EIT正问题进行了求解。

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