燕山大学毕业设计：EIT图像重建技术研究(6)

燕山大学本科生毕业设计(论文)

第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

3.1 引言

电阻层析成像技术是以Radon变换和逆变换为理论基础的，因为它是医学CT应用于工业生产领域中的一种形式。它属于过程层析成像技术的一种[37]。

3.2 传输管道三维建模的EIT技术数学模型

3.2.1 EIT技术数学模型理论基础

函数f(x,y)的Radon变换是在一个二维平面区域内，对f(x,y)沿不同的直线(直线与原点的距离为r，方向角为?作线积分所得到的的像函数

F(r,?)。而在平面区域内任意点(r,?)处函数f(x,y)的极坐标形式f(r,?)的

值都可以由它的无穷多个观测角度?下的线积分值确定，而且是唯一的确定，称为Radon逆变换，用符号f?R?1F表示。

在被测物体周围安置多个传感器件，通过这些传感器件测量被测物体内部的多相流流动信息在各个方向上的投影数据，即将未知的两相流流动信息转换为与之相关的可被测量的数据，实现Radon变换。然后利用这些测量的数据，运用某种图像重建算法，将被测物体内部的多相流流体在某个界面上的分布信息的图像重建出来，即进行Radon逆变换。而后利用所获得的图像可以知道多相流流体的一些特征信息，通过这些信息可以实现对多相流的实时监测以及控制，这就是过程层析成像技术的实质。

对于似稳场的假设，是建立EIT数学模型的另外一个理论基础[38]。似稳场满足：

???H?Jf??E??B?H???????E???t?t (3-1) ????B?0?????D?0式中 H——磁场强度；

16

第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

Jf——电流密度； ?——电导率；

E——电场强度； ?——磁导率； B——磁通量密度； D——电感应强度。

此外，似稳场还遵循静态场的规律，即电位?和矢位A分别满足拉普拉斯方程(3-2)和泊松方程(3-3)：

?2??0 (3-2)

?2A???Jf (3-3)

以下几种电磁场都可以看做是似稳场：

(1) 随着时间的推移，频率基本保持不变，或者频率非常低的电磁场。 (2) 导电介质中的传导电流相对于位移电流非常大，可以假设位移电流不存在的电磁场。

(3) 当电磁场无法满足上述两种条件时，以场源为中心，以小于电磁波波长的六分之一的距离为半径的空间区域即场源近区部分可以看做是似稳场。

3.2.2 用于传输管道三维建模的EIT数学模型

如前所述，使用EIT技术测量传输管道两相流时产生的电磁场可以看做似稳场。当在微通道某个测量截面上施加正弦交流激励电流时，由于管道直径非常微小，因此可以认为场域内的各处的电场是同时变化的，可以忽略电流在其内部的流动时间。另外由于电流激励只施加在通道某一测量截面边界的电极上，在其内部没有任何电流源，所以不会有由于内外电流源相互作用而产生的涡流效应。因而电流在传输管道内部的各个地方的散度都是零。根据这些条件及方程组(3-1)可知，对于应用EIT进行传输管道两相流测量时产生的敏感场内的任何一个位置，都有：

J???E (3-4) ??J?0 (3-5)

17

燕山大学本科生毕业设计(论文)

式中 J——传输管道内的电流密度；

?——传输管道内流体各相的电导率； E——传输管道内部的电场强度。 又由于：

E???? (3-6)

式中 ?——传输管道内的电势分布

则?在传输管道被测场域内满足：

??(????)?0 (3-7)

等式(3-7)的边界条件为：

????J 在??上 (3-8) ?n式中 n——传输管道边界的法线向量；

??——传输管道截面边界； J——电流密度，它分别为

I/A 在???上

J= ?I/A 在???上 (3-9) 0 在除???和???的??上 式中 ???——电流的流入电极表面；

??——电流的流出电极表面； A——电极的表面积； I——电流大小。

将式(3-7)展开：

?????????2??0 (3-10)

假设传输管道中的两相流介质各相同性的，则在某一时刻，?为常数，则??=0，(3-10)可以简化为：

?2??0 (3-11)

3.3 用于传输管道多相流检测的EIT求解路线

应用EIT技术检测微通道两相流的求解过程包括求解正问题(Forward

18

第3章 EIT技术数学模型及有限元建模

Problem)与求解逆问题(Inverse Problem)两部分。如图3-1所示。

正问题已知注入电流I0已知注入电流I0逆问题已知电导率分布σ边界电压U未知有限元法电导率分布σ未知测量边界电压U图像重建算法计算边界电压U得到微通道敏感场信息计算电导率分布σ图像重建实现可视化图3-1 EIT技术中的正问题和逆问题

其中，已知传输管道两相流电导率?的分布或者电导率?的变化??及注入电流的大小，求电极对之间电势V或者电势变化?V，最终得到传输管道某一测量截面的敏感场信息，称作求解EIT正问题。

根据在某个测量截面上测量的电压VM及通过正问题求解得到的该测量截面的敏感场信息，求解两相流电导率分布?，从而得到传输管道内部不同介质的分布情况，进行图像重建，实现可视化，称为EIT的逆问题求解。

3.4 有限元法求解EIT正问题

3.4.1 EIT正问题

用EIT系统分析传输管道两相流流动情况的测量过程是施加激励电流测量边界电压，它的正问题属于Neumann边值问题。设被测传输管道截面中心O点的坐标为(x0,y0)，将O点作为电势参考点，电势在O点为0。由式(3-7)及其边界条件(3-8)，EIT正问题的数学模型可以写作下面的形式[39]：

19

燕山大学本科生毕业设计(论文)

?内???(????)?0，在传输管道场域??????J，在电流注入电极???n?? (3-12) ???????J，在电流流出电极??n????(x0,y0)????(x0,y0)?0，式中 ?——梯度算子；

?——传输管道两相流电导率分布函数； ?——被测传输管道横截面场域；

??——场域边界；

J——电流激励电极上注入的边界电流密度； ?——传输管道截面场域内的电势；

??/?n——场域内电势沿边界法线方向的导数。

通过对方程组(3-12)求解，可以得到传输管道横截面边界电压V与两相流电导率?之间的关系式：

V?F(?) (3-13)

其中函数F称作?与V之间的正向操作函数。

式(3-13)可以看做是EIT正问题的求解函数。由方程组(3-12)到式(3-13)的数学物理模型推导过程是非常复杂的。因此通常用有限元法(Finite Element Method,简称FEM)对EIT正问题进行分析。

在EIT中，在给出电导率?的分布的情况下，通过有限元法可以得到一个对于电势的估计值：

VFEM?FFEM(?) (3-14)

其中FFEM称作FEM中?与V之间的正向函数。通常假设电导率分布在每个网格单元中为一个常数。每个单元的值对应于图像中的某一个像素，图像中像素颜色的深浅表示单元的值的大小。

在图像重建中，为了减小测量误差带来的影响，通常采用动态方法进行图像重建。随着传输管道两相流流体电导率分布变化????而产生的测量电极上的电压变化V??V可以由泰勒展开式表示：

20

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库燕山大学毕业设计：EIT图像重建技术研究(6)在线全文阅读。