应用弹塑性力学 李同林 第四章(6)

在4-1中已经指出，当材料进人塑性状态以后，其应力应变关系对于加载过程和御载过程是不同的，需分别进行研究。因此，我们在具体讨论塑性应力应变关系之前，还需要明确按照什么准则来区分加载过程和卸载过程。

在单向拉伸中，当应力ζ小于ζs时，材料是处于弹性状态的，应力应变关系服从虎克定律。这时不必区分加载和卸载的过程。但是，当应力大于ζs后，材料便处于塑性状态，这时应力应变关系对加载过程和卸载过程便遵循不同的规律。如图4-29(a)所示，设M点的应力为'，如果再附加上一个无限小的增量dζ时，那么根据拉伸试验的结果可知，当dζ＞ 0时，在拉伸曲线上表征应力状态的点从M变化到M’，引起了塑性变形的增长[相应的塑性应变的增量

如图4-29(a)中NN’所示〕；同时材料的屈服极限也提高了，这

是强化材料的重要特性，由此而形成的新的屈服点(如图中M'点)称为后继屈服点。应力的这种变化(即dζ＞0)称为加载。如果dζ＜0，那么新的应力状态便不M'点，而是图4-29(b)中的M''点。这时材料不会产生新的塑性变形，而且只要应力不超过ζ'，应力应变关系的变化总是遵循弹性规律，这种情况(即dζ＜0)称为卸载。

由以上分析可知，在简单受力情况下(例如单向拉伸、单向压缩、纯剪切等)，加载过程和卸载过程是容易区分的。但是，对于复杂应力状态，如何来判别加载和卸载呢？这个问题就要困难得多。当材料已进人塑性状态，设其中某一点的应力状态为ζij，如果给应力状态ζij一个无限小的增量dζij，则是否会引起新的塑性变形呢？换言之，这个过程是属于加载呢？还是卸载呢？由于塑性变形时所产生的物理过程的复杂性以及实验资料的不充分，目前还不能够较完善地回答这个间题。但是，人们还是建立了一些加载准则，使之能相当广泛地适用于各种加载情况，下面介绍一种最简单的加载准则。

因为在单向拉伸(ζ＞0)时，dζ＞0为加载,，dζ＜0为卸载；而在单向压缩(ζ＜0)时，dζ＞0

为卸载，dζ＜0则为加载。如果把这两种情况结合起来，即可得单向受力状态的加载准则如式（4-64)左半部分所示。若将这一加载准则加以推广，则对于复杂应力状态加载准则也许具有类似于单向受力状态加载准则的形式(当然，在这个设想的基础上得出的推论，必须经过实验的验证)，也即如式(4-69)右半部分所示：

关于中性变载的解释，可参见本节加载曲面的讨论。此外，由于：

若考虑平均应力ζm考虑第一项

对塑性变形的影响可以忽略不计，则式(a)中后三项均为零，则上式等号右边只需

就可以了，于是式(4-69)又可写成式(4-70）左半部分所示。由于

所以加载准则可以用应力偏量的第二不变量J2来表示，即如式(4-70)右半部分所示：

上述结果，在加载路径不太复杂(没有突然高低的反复变化，并且加载路径的方向没有大的改变)的情况下已为实验所证实。.

4-6-2加载曲面

对于复杂应力状态，引人加载曲面(有时也称后继屈服面)的概念。加载曲面是主应力空间中的曲面，它对应于材料的给定应力状态，将主应力空间划分为弹性区和塑性区，如图4-30所示，坐标原点相应于零应力。如果应力状态的增量dζij由加载曲面指向其外部，则表示加载，将进一步引起材料产生塑性变形；如果

dζij指向曲面内部，则表示卸载，则只引起弹性变形；若增量dζij位于加载曲面的切平面内时，则表示中性变载，也只引起弹性变形。

加载曲面并不是固定不变的，它是随着材料强化的发展而产生形状和位置的变化。一般来说.加载曲面的形状与位置不仅依赖于相应的应力状态。而且还依赖于整个变形历史。

应当注意，加载和加载曲面的概念是对强化材料而言的。对于理想弹塑性材料，一旦材料达到屈服，就不能再继续加载，但塑性变形却在继续增长(即所谓塑性流动)，在主应力空间中，区分弹性区和塑性区的曲面始终是初始屈服面(一些文献中简称为屈服面)。对于理想弹塑性材料，只有中性变载与卸载，卸载时只引起弹性变形，可是中性变载时塑性变形继续增长(塑性流动)，这一点与强化材料是不同的。

4-6-3加载方式

加载方式可分为简单加载和复杂加载两种情况。这里只介绍简单加载。 如果在加载(或卸载)过程中，试件内各点应力状态ζij的各应力分量都随着某参数λ成比例地改变，即：

或简写为：

这种加载(或卸载)方式称为简单加载(或简单卸载)，也称作比例加载(或比例卸载)。凡不属于这种方式的加载(或卸载)都称为复杂加载(或复杂卸载)。 式（4-72)中的又是表征加载(或卸载)过程的一个比

例系数，可看作是时间的函数。而ζij只是坐标的函数，与加载(卸载)的过程无关。如果试件中某一点的坐标已经给定，那么在简单加载过程中，该点的各应力分量之间始终保持固定的比值。在主应力空间中，该点应力矢量的轨迹必为通过坐标原点的一射线，如图4-31所示。

目前已建立的便于实用的应力应变关系，主要适

用于简单加载的情况，对于复杂加载，无论在理论上或实验研究方面，都还有许多问题尚未完善地得到解决。关于在复杂加载下应力应变关系的研究，迄今为止仍是塑性力学发展中的一个主要研究课题。

上述简单加载的特征是：在加载过程中，试件内各点的应力主方向和主应力之间的比值可以随空间位置而不同，但不随时间而改变。那么在什么样的条件下才能实现简单加载呢？依留( A. A. HnvrouH)对这一问题做了初步研究，提出简单加载定理。关于简单加载定理的证明，请参见有关弹塑性力学教材。他证明了如果同时满足下列三个条件，便能实现简单加载。也即

（1）所有外力成比例地增长；

（2）材料在单向拉伸时，应力与应变呈幂函数关系； （3）材料为不可压缩材料。即μ=1/2。

§4一7塑性本构方程

4-7-1增量理论（流动理论）

在4-1概述中已阐明材料的塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性。所谓非线性是指应力应变关系不是线性比例关系；所谓不唯一性是指应变不能由应力唯一确定。因此，在塑性变形阶段，应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状态唯一地确定塑性应变状态。而且只知道最终的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论称为增量理论(或流动理论)。鉴于本课程学时所限，这里仅对增量理论和下文讨论的全量理论做简略介绍。

弹塑性物体内任一点处应力状态进人塑性状态以后，相应的应变7J总可以分解成为两部分：弹性应变部分

和塑性应变部分

，即：

当外载荷有微小增量时，总应变也要有微小增量dgel。同理可得：

若认为球应力作用下物体只产生弹性的体变(即体积改变)；而偏应力作用下物体只产生畸变(即形状的

改变)，但畸变包括有弹性畸变和塑性畸变两部分。这就是说塑性变形仅由应力偏量所引起。且在塑性状态，若认为材料不可压缩，则体积变形为零，即：

而

于是，应变偏量增量为；

在弹性变形阶段，根据广义虎克定律，有：

再由式(4-36)、式(4-37)和式（c）得：

式(e)、式（f)分别表明：在弹性阶段，应力偏量增量与应变偏量增量以及平均正应力增，与平均正应变增量成比例，比例常数分别为2G和3K，也即：

由此，塑性应变增量考虑式（a）经推导得：

增量理论基于以下假定：在塑性变形过程中的任一微小时间增量内，塑性应变增量与瞬时应力偏量成比例，即；

式中dλ为正比例常数，且可根据加载历史的不同而变化。将式(4-76)代入(4-75)后，得总应变增量与应力偏量之间的关系为：

展开式(4-77）得：

式(4-77)或式(4-78)称为普朗特一罗伊斯((L. Prandtl-A.Reuss)方程。该方程表明：塑性应变增量依赖于该瞬时

的应力偏量，而不是达到该状态所藉的应力增量。整个变形过程可以由各瞬时变形的累积求出。因此，增量理论可以描述加载过程对变形的影响，能反映复杂加载的情况。在以上推导中引人一个参数dλ,dλ可以通过屈服条件来确定。若采用Mises屈服条件，经推导得：

式中

为八面体剪应变的塑性部分。再由式(2-44)和式(3-32)知有效应力

和有效塑性应变增量分别为

将式((h)代人式(g)得：

于是由式(4-76)得；

展开式(4-79）得：

式(4-79)或式（4-80)为普朗特一罗伊斯方程的另一种表达式。如在上式中将塑性应变增量换成总应变增量，亦即忽略弹性应变部分，则得莱维一米塞斯(M. Levy-R. Von. Mises)方程：

由方程(4-80)和式(4-81)看出，增量理论的本构方程与广义虎克定律式(4-28)在形式上十分相似，除含应变增量外，所不同的是系数部分。如将虎克定律中的泊松比μ=1/2，1/E用

来代替，便得到流动理论的

本构方程·这反映了塑性变形过程的不可压缩性和塑性变形的非线性，及其对加载路径的依赖性等。在此方程中，若应变增量为已知，则可唯一地求出应力偏量。 方程（4-80)和式((4-81)为

（即J2)的函数，这就是说，上述方程要用到Mises屈服条件。所以这两式

是与Mises屈服条件相关连的本构方程。

以上讨论未涉及强化问题。Prandtl-Reuss理论和Levy-Miles理论也都可以应用于强化材料，有关这方面的研究可参阅有关文献。

4-7-2全量理论(形变理论)

在塑性力学中，有一种特殊的变形情况，即各应变分量自始至终都按同一比例增加或减少，这种情况称为比例变形。在此情况下，应变强度增量可以积分求得应变强度，从而建立了全量理论的应力应变关系，因为这个理论考虑的是应变分量而不是应变分量的增量。全量理论是以比例变形为基础的理论，有时亦称

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