应用弹塑性力学 李同林 第四章(2)

这里所谈的内力实际上就是指物体内的应力，也即一点单元体各微截面上作用的应力。显然，整个物体的内力功，就等于物体内每一点处(单元体)由于变形应力所作的内力功的总和。应当注意到，当我们取物体内一点(单元体)作为研究对象时，则该单元体各微截面上作用的应力，就应视为该单元体的外力了，见图2-12所示，当单元体各边长dx、dy、dz因变形都产生有位移分量δu、δv、δw时，应力分量ζij和应变分量εij也应有相应的增量，由此可计算出单元体上应力所作的功。

首先考察单元体上外法线与x轴相平行的微截面上拉力(或压力)所作的功，如图4-8(a)所示。当有应变增量δεx时，则两平行微截面间的相对位移为δεxd x。略去右侧截面上正应力增量势错误！未找到引用源。dx一项(因该项力所作的功为高阶微量)，则得单元体x方向的拉力(或压力) ζxdydz所作的功为(b)式第一项.同理可得单元体y、z方向上的拉力(或压力)所作的功为(b)式后两项:

再考察单元体xOy平面内剪力在剪变形上所作的功。如图4-8(b)所示，当有剪应变增量δγxy时，同理略去剪应力增量错误！未找到引用源。dx，单元体两侧面上作用的剪力错误！未找到引用源。xydydz组成力偶错误！未找到引用源。xydydzdx，则该力偶所作的功为式(c)第一项。同理再考察单元体yOz或zOx截面上剪力作的功，可得式(c)后两项:

综上所述，物体内一点单元体各微截面上的全部外力在微小变形增量上所作的功为:

考虑到dxdydz是单元体的体积，因此单元体中单位体积内外力在微小应变增量上所作的功为:

根据外力功与应变能的关系，单位体积内外力在微小应变增量上所作的功应等于单位体积内应变能的全部增量δU0，即：

从零应变状态到达某一应变状态εij的过程中，积累在弹性体单位体积内的应变能，称为应变能密度或应变比能，记为U0。则为：

于是整个弹性体内的应变能为：

由式（4-13）知，δU0。是单位体积应变能增量，因而由式(4-14)知应变比能U0是应变状态的函数，即:

则可表示为函数的全微分，也即：

与式(4-13)相比较，即得：

函数U0称为弹性应变比能函数或弹性势。此式表明，应力分量等于弹性应变比能函数对相应的应变分量求一阶偏导数，且该式适用于一般弹性体，可缩记为：

4-3-3 弹性常数间的关系

现在我们来回答前面提出的问题，即式（4-8）中的36个弹性常数之间有什么关系?我们先从最复杂的情况开始，逐个加以讨论。 1 极端各向异性体

如果在物体内的任一点，沿任何两个不同方向上的弹性性质都互不相同时，则称该物体为极端各向异性体。在实际工程材料中，这种情况虽然很少见到，但其36个弹性常数之间也存在有某些内在联系。

现将式(4-8)中第一式对εy求偏导，第二式对εx求偏导，则有：

根据式(4-18)的结论有：

由于应变比能U0是应变分量的连续函数，故式(f)中两式应相等，联系式(e)得：a12=a21。同理可证明36个弹性常数之间存在有以下关系;

因此，可知这36个弹性常数中，对极端各向异性体，独立的弹性常数只有21个。于是极端各向异性体从零应变状态到应变状态为εij的过程中，积累在单位体积内的应变能为:

注意上式中不带系数错误！未找到引用源。的项均为合并项。

2 正交各向异性体

如果在物体内的每一点都有三个互相正交的弹性对称面，在侮个面两边的对称方向上弹性相同，但在这三个方向上弹性各不相同。这种物体就称为正交各向异性体。例如工程上常见的双向配筋不同的钢筋混凝土构件、木材以及煤岩等。

若取x、y轴在一弹性对称面内，则z轴颠倒方向时，如图4-9 (a)所示，由于xOy平面两侧弹性相同，由式(4-21)所得的U0值应不变，因为U0只取决于弹性常数和最终的应变状态，同坐标系的选择无关。因此，只

要xOy为平面两边弹性相同，变形结果也相同。而U0的数值与z轴怎样设取无关。于是对于弹性体应有：

若同理再讨论另两个弹性对称平面，则在式(g)所得结果基础上，还应有：

因此，对于正交各向异性体，独立的物性参数只剩下9个。则由式(4-8)得正交各向异性体的应力应变关系为:

应变比能为:

从以上讨论可以看出，如果所设的x、y、z轴恰在应变的主方向上，则有γxy=γyz=γzx=0，同时由式(4-22)可得错误！未找到引用源。xy=错误！未找到引用源。yz=错误！未找到引用源。zx=0，即所设x、y、z方向也恰是应力的主方向。因此结论是：

只要是正交各向异性体，其应变主方向与应力主方向相重合。至于下面将讨论的横观各向同性体和各向同性体，则更是如此。 3 横观各向同性体

有一类正交各向异性体，其特点是在平行于某一平面的所有各个方向(即所谓横向)都具有相同的弹性，我们将这类正交异性体称为横观各向同性体。许多成层的岩石就属于这一类。

现把y轴设在纵向，而z、x轴设在上述平面内的横向。由于xOz平面内的任意方向弹性都相同，因此把原有的εx和εz的数值对调，对U0应无影响。同样把γxy与γzy的数值对调，对U0也应该无影响。于是对照式(4-22)可知：

则相应的应力应变关系为：

也可将式(4-24)改为用应力表示应变的形式：

对比材料力学的公式，令:

则式(4-25)可写成:

由于在xOy平面内各向同性，故由材料力学的证明知：

因此，对于横观各向同性体，独立的弹性常数只有5个，它们是:E1、E2、μ1、μ2、G2。

若将式(4-24)中的各系数代人式(4-21)中，则可得横观各向同性体的弹性应变比能表达式。 4 各向同性体

若在物体内的任一点，沿任何方向的物性都相同，则称为各向同性体。例如许多金属材料、水泥，以及许多岩石材料等。联系上面对横观各向同性体的讨论可知，对于各向同性体来说，现在不仅在xOz平面内各方向弹性相同，而且在空间任何方向上的弹性都相同。采用上面同样的方法可证明：

由于是各向同性，故在式(4-26)中令：

于是各向同性体的应力应变关系为:

式(4-28)可缩写为;

式(4-29)中令

。材料力学中已证明了：

上式中G就是工程中使用的剪切弹性模量，E称为杨氏弹性模，μ称为泊松(Poisson )比。式(4-28)也可改写为用应变表示应力的形式：

若令：

上式中的λ称为拉梅（Lame）常数。已知体积应变

，则上式可写为:

若将式(4-31)中各弹性系数代入式(4-23)，即可得各向同性体的应变比能为：

综上所述，对于各向同性弹性体，弹性常数只有三个，分别是E、G、μ，由式(4-30)知，独立的弹性常数只有两个，通常选用杨氏弹性模量E和泊松比μ。 若将式(4-28)左边三式相加，则得：

于是由平均应力

，平均应变

，则得:

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