华师一2011届高三第一轮复习教案(第二章)第1讲--映射与函数

课 题： 映射与函数 教学内容： 映射与函数

教学目的： 了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解； 教学重点： 函数的三要素（对应法则，定义域，值域） 教学过程： 一、知识概要

教学要求：

1．掌握映射与函数的概念。（函数的三要素及表示法，两个函数相同的条件，理解分段函数的意义。） 2．能计算映射的个数及求函数值。 知识点1 映射

设有A、B两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B，以及从A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B．

指出：（1）映射的两个本质特征：一是存在性（有象），二是唯一性（象惟一）。如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。 （2）映射定义的三要素：两个非空集合A与B，两个集合先后对应次序，一个由A到B的对应法则f． （集合A与B可以是数集，也可以是其他集合，但不能是空集，这两个集合有先后次序，由A到B的映射与由B到A的映射是不同的映射）。

（3）对应法则f反映的是A与B两个集合中元素之间的对应关系：集合A中的任何一个元素在对应法则f的作用下，与集合B中唯一一个元素相对应，对应形式只有“一对一”或“多对一”（由A到B）两种，集合A中的每一个元都有象，且每一个元素的象唯一，而集合B中的元素不一定都有原象，如果有不一定只一个原象。

（4）由集合A到集合B 的映射个数有下面结论：若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么由A到B的映射共有nm个。

知识点2 函数

设A、B都是非空的数集，如果f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B，就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B。原象集合A叫做函数y=f(x)的定义域；象的集合C={f(x)|x∈A}(C?B) 叫做y=f(x)的值域．

指出：（1）函数的定义，两个特点：集合A、B都是非空数集； f：A→B是一个映射．

（2）构成函数的三要素： 定义域； 值域；对应法则。 （3）函数的表示方法：列表法；解析法；图象法。

解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 知识点3 复合函数

如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量．

若f(u)的定义域是集合A，g(x)的值域是集合B，当且仅当A?B时，复合函数f[g(x)]的定义域是g(x)的定义域．

二、典例解析

例1（象与原象的概念） 已知集合A=R，B={(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射f： x→(x+1，x2+1)，求A中元素2的象和B中元素(,3524)的原象．

32解：把x=2代入对应法则，得其象为（2+1，3），又x+1=

第二章 函数 （第1课时）

，得x=

12．代入x2+1，得x2+1=

54，

1

∴(

351,)的原象是．∴

2242的象是（，（2+1，3）

351,）的原象是．

224例2（映射的概念） A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝，求从集合A到B的映射中满足

f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射的个数。

解：（1）当全是等号时，（即与B中的一个元素对应），则f有C13个;

2（2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应），f有C1·C=12个; 34（3）有二个不等号的映射，f有C2·C3=6个。所以共有3+12+6=21个。 34方法二：将元素1，2，3，4，5按照从小到大的顺序串成一串之间有4个节点

若只有一个象就让这一串整体对应有C13＝3种方法；

2若恰有两个象就将这一串分为两段，并按照大小顺序对应，有C1·C3＝12种方法； 4若恰有三个象就将这一串分为三段，并按照大小顺序对应，有C2·C3＝6种方法 34根据分类计数原理，共有3+12+6=21个映射。

例3（映射的概念） 已知集合M={1，2，3，4}，N={a，b，c，d}，从M到N的所有映射中，求满足N中恰有一个元素无原象的映射个数。

解：建立从M到N的满足条件的映射可分两步：第一步从 a、b、c、d中取出一个元素作为无原象的 元素，有C1第二步建立从M到N中剩下的三个元素之间并且每个元素都有原象的映射，需先将4种可能；M中四个元素1，2，3，4分成三组，每组至少一个，共有C24种分法，再和N中剩下的三个元素作对应，

1有A3C2A34·3种，故由分步计数原理有C4·3=144种．

例4 （映射的概念） 设集合M={-1, 0, 1}, N={2, 3, 4, 5, 6}，映射f：M→N，则对任意的x∈M, 求x+f(x)+xf(x)恒为奇数的映射f的个数。

解：由x+f(x)+xf(x)=x+(1+x)f(x)是奇数，当x=-1时，1+x=0，∴f(x)为任意数，∴有5种对应方式；当x=0时，1+x=1，∴f(x)必为奇数，故有2种对应方式；当x=1时，1+x=2，

∴f(x)为任意数，有5种对应方式，由分步计数原理，共有5×5×2=50个。

例5（函数的概念） 下列各组式子是否表示同一函数，并简单说明理由．

2（1）f(x)?x，g(x)?(x)； （2）f(x)?x， g(x)?x；

22（3）f(x)?x?1，g(x)?x?1x?1321； （4）f(x)?x2，g(x)?x4；

（5）f(x)?x，g(x)?23x； （6）f(x)?x，g(t)?t。

2解：（1）两个式子表示不同的函数，因为定义域不同。 （2）两个式子表示不同的函数，因为对应法则不同。

（3）两个式子表示不同的函数，因为定义域不同。但x??1时函数值处处相等。 （4）两个式子表示不同的函数，因为定义域不同。

（5）两个式子表示不同的函数，因为对应法则和值域都不同。

第二章 函数 （第1课时）

2

（6）在公共义域R上，f(x)=|x|和g(t)=

t2的对应法则完全相同，只是表示形式不同，所以它们是

相同的函数

指出：以上的五对函数中，虽都不是同一函数，但是它们之间都有重要的联系，要重点的指出。

例6 （求函数值） 已知函数f（x）=

x221?x，求：

f（1）+f（2）+f（

12）+f（3）+f（

13）+f（4）+f（

14）。

1解：∵f()?f(x)?x1x1?21x2?x221?x?1，∴f（1）+［f（2）+f（

12）］+［f（3）+f（

13）］

+［f（4）+f（

14）］=

11?1+1+1+1=

72。

指出：先分析自变量之间的关系、函数值相应的关系之后再求值。

例7 （求函数值）已知函数f(x)满足:f(p?q)?f(p)?f(q),f(1)?3,（ p，q均为整数） f(1)?f(2)f(1)2求：?f(2)?f(4)f(3)2?f(3)?f(6)f(5)2?f(4)?f(8)f(7)2。

解：f(p?q)?f[(p?q?1)?1]?f(p?q?1)?f(1)?f[(p?q?2)?1]?f(1)

3?3?332?f(p?q?2)?f(1)???f2p?q（1）?3p?q’，则原式??3?3?333224?3?3?335336

?3?3?337448?2?3?2?3?2?3?2?3?24.

1111?n?13例8 （求分段函数的函数值）设定义在N上的函数f(x)满足：f(n)???f[f(n?18)]试求f(2006)的值。

f(2006)?f[f(2006?18)]?f[f(1988)]?f(1988?13)?f(2001)(n?2000),

(n?2000),解：

?f[f(2001?18)]?f[f(1983)]?f(1983?13)?f(1996)?1996?13?2009

指出：注意两点：求值先从内层函数开始；在不同的定义区间代入不同的对应法则求值。

三、课堂练习

1．下列对应是否为从A到B的映射?

第二章 函数 （第1课时） 3

①A?R,B?R,f:x?y???11x?1

②A??a|11?*?*?a?N?,B??b|b?,n?N?,f:a?b? 2na???③A?{x|x?0},B?R,f:x?y,y2?x ④A?{平面a内的矩形}，B?{平面a内的圆}，f：解：①当x??1是，y值不存在，∴不是映射. ②A、B两集合分别用列举法表述为A={2,4,6…}B={1,射.

③不是映射,如A中元素1有两个象?1. ④是映射.

2．已知A={1, 2, 3, 4}, B={5, 6}，取适当的对应法则。

（1）以A为定义域，B为值域的函数有多少个？

（2）在所有以A为定义域，B为值域的函数中，满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)的函数有多少个？ 解：（1）据映射与函数的定义，A中的元素均可与B中的两个元素对应，故由分步计数原理，从A到B可建立2=16个函数。但由于1，2，3，4都对应5，和1，2，3，4都对应6这两种情况下，值域不是B，应排除，所以从A到B可建立14个函数。

（2）在上述14个函数中，满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)的函数有：f(1)=5, f(2)=f(3)=f(4)=6；f(1)=f(2)=5, f(3)=f(4)=6；f(1)=f(2)=f(3)=5, f(4)=6.∴满足条件的函数共有3个。

4

作矩形的外接圆.

1111知,是映,,,…},由对应法则f:a?b?234a四、备选习题

1．设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f： A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x+y，x-y)，求在映射f下，象(2，1)的原象。

3?x?,??x?y?2,31?2解：根据题意有?解得?，∴象（2，1）的原象是（,）。

x?y?1,22??y?1.?2?2．集合A={3，4}，B={5，6，7}，求从A到B的映射个数和从B到A的映射个数。

解：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步

A中的元素4也有这3种对应方法由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9反之从B到A，道理相同，

有N2＝2×2×2＝8种不同映射 3．设集合M?{?1,0,1}，N?{?2,?1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，求映射f的个数。

解：∵x?f(x)为奇数，∴当x为奇数?1、1时，它们在N中的象只能为偶数?2、0或2，由分步

2计数原理和对应方法有3?9种；而当x?0时，它在N中的象为奇数?1或1，共有2种对应方法．故映

第二章 函数 （第1课时） 4

射f的个数是9?2?18． 4．设M={a, b, c}, N={-2, 0, 2}。

（1）求从M到N的映射个数；

（2）从M到N的映射满足f(a)>f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f的个数。 解：（1）根据映射的要求：“每元必有象，每元象唯一”，M中元素a可对应N中的-2，0，2中任一个，有3种对应方法；同理，M中b, c也各有3种对应方法，由分步计数原理，从M到N的映射个数为33=27。

（2）满足f(a)>f(b)≥f(c)的映射是从M到N的特殊映射，可具体化，通过列表求解。

f(a) 0 2 2 2 故符合条件的映射f有4个。 5. 集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的个数是多少？

解：∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N， f（a）+f（b）+f（c）=0，∴有0+0+0=0+1+（－1） =0 当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；

f(b) -2 -2 0 0 f(c) -2 -2 -2 0 当f（a）、f（b）、f（c）中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C13·A2=6个映射。 2因此所求的映射的个数为1+6=7 6. 若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B

解：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知

42???a?10,?a?3a?10,（1）?2或（2）?4 ∵a∈N，∴方程组（1）无解 解方程组（2），得a=2

???a?3a?3k?1,?a?3k?1.或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5，∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}。 7. 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f（x）=

x2，g（x）=

3x3； （2）f（x）=

|x|x，g（x）=??1??1x?0,x?0;

（3）f（x）=（4）f（x）=

2n?1x2n?1，g（x）=（2n?1x）2n－1（n∈N*）；

x2xx?1，g（x）=?x； （5）f（x）=x－2x－1，g（t）=t－2t－1

22

323解：（1）由于f（x）=x=|x|，g（x）=x=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不

是同一函数 （2）由于函数f（x）=所以它们不是同一函数 |x|x的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=??1??1x?0,x?0;的定义域为R，

（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）=

2n?1x2n?1=x，g（x）=（2n?1x）2n－1=x，它们的定义

5

第二章 函数 （第1课时）

域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数 （4）由于函数f（x）=xx?1的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=

x2?x的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，

它们的定义域不同，所以它们不是同一函数

??8. 已知函数f(x)????x?2(x??1),2x(?1?x?2), x22(x?2)（1）求f?f[f(???7?)]?； （2）若f(a)?3，求a的值。 4?7?11)]??f[f()]?f()?1 4?42解：（1）f?f[f(???（2）令2a?3?a?32令a22?3?a?6(a??6舍)，?a?32或a?6。

(n?2000),?n?139．设定义在N上的函数f（x）满足f（n）=? 试求f（2002）的值 (n?2000),f[f(n?18)]?解：∵2002＞2000，∴（f2002）=［f（f2002－18）］=［f（f1984）］=［f1984+13］=（f1997）=1997+13=2010 10．设f（x）=

4?12x?1x－2x+1，已知f（m）=2，求f（－m）

解：∵f（m）=2，∴

4m?12m?1－2m+1=2 ① ∴

4m?12m?1－2m=2－1 1∴f（－m）=

4?m?12?m?1+2m+1=4m?112m+2m+1=

1?44mm2??2?m?1+2m+1=

1?42mm?1+2m+1=－

4m?12m?1+ 2m+1

=－（

4m?12m?1－2m）+1=－（2－1）+1=2－2 五、教学小结

第二章 函数 （第1课时） 6

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