2013全国各地重点高中高三试题解析分类汇编(二)系列不等式(3)

?y?x，?20【北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文】已知不等式组?y??x，表示的平面

?x?a?区域S的面积为4，则a? ；

若点P(x,y)?S，则z?2x?y 的最大值为 . 【答案】2；6

【解析】如图不等式组对应的平面区域为三角形OBC，由图象知a?0。其中

1B(a,a),C(a,?a)，所以BC?2a,所以三角形的面积为?a?2a?a2?4，所以a?2。由

2z?2x?y得y??2x?z，平移直线y??2x?z，由图象可知当直线y??2x?z经过点B

时，直线截距最大，此时z也最大，把B(2,2)代入z?2x?y得z?2?2?2?6。

21.【北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文】已知x,y满足约束条件

?2x?y?4,??x?2y?4，则z?x?y的最大值为 ． ?x?0，y?0?8【答案】3

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【解析】作出不等式组对应的可行域

，由z?x?y得

y??x?z，平移直线y??x?z，由图象可知当直线y??x?z经过点B时，直线y??x?z4?x???2x?y?4,44?3的截距最大，此时z最大。由?解得?，即B(,)，代入z?x?y得

33?x?2y?4，?y?4?3?z?448??。 3331的最小x?122.【北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文】若x?1?0，则x?值为 ． 【答案】1 【解析】由x?111?x?1??1得，因为x?1?0，所以?0，根据均值定理x?1x?1x?1得x?1111?x?1??1?2(x?1)??1?1，当且仅当x?1?，即x?1x?1x?1x?11的最小值为1. x?1(x?1)2?1，即x?1?1,x?0时取等号，所以x??x?2,?23.【北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文】不等式组?y?0,表示的平面区域

?y?x?1?的面积是___________. 【答案】

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【解析】

不等式组表示的区域为三角形BCD，由题意知

C(1,0),D(2,0),B(2,1)，所以平面区域的面积S?BCD?111CD?BD??1?1?。 222p?q%，224.【北京市东城区2013届高三上学期期末统一练习数学文】某种饮料分两次提价，提价方案

有两种，方案甲：第一次提价p%,第二次提价q%；方案乙：每次都提价若p?q?0，则提价多的方案是 . 【答案】乙

【解析】设原价为1，则提价后的价格:方案甲：(1?p%)(1?q%),乙：(1?为

p?q2%)，因21?p%1?q%p?q??1?%，因为p?q?0，所以222p?qp?q2(1?p%)(1?q%)?1?%，即(1?p%)(1?q%)?(1?%)，所以提价多的方

22(1?p%)(1?q%)?案是乙。

?x?0,?25.【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】不等式组?x?y?3,表示的平面区域

?y?x?1?为?，直线y?kx?1与区域?有公共点，则实数k的取值范围为_________. 【答案】[3,??)

【解析】做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线y?kx?1过定点M(0,?1)，由图象可

?x?y?3,?x?1知要使直线y?kx?1与区域?有公共点，则有直线的斜率k?kMC，由?得?，

y?x?1y?2??即C(1,2)。又kMC?2?(?1)?3，所以k?3，即[3,??)。

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26.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）数学文】若实数x,y满

?x?y?2,?足不等式组?2x?y?4,则z?2x?3y的最小值是__________．

?x?y?0,?【答案】4

【解析】做出不等式对应的可行域，由z?2x?3y得y??移直线y??2z2x?，作直线y??x，平33322z2z由图象可知当直线y??x?经过点D(2,0)时，直线y??x?x，33333的截距最小，此时z最小，最小为z?2x?3y?2?2?0?4。如图

27.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）数学文】已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x?3y?1?0的两侧，给出下列命题： ① 2a?3b?1?0；

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② a?0时，

b有最小值，无最大值； a22③ 存在正实数m，使得a?b?m恒成立 ； ④ a?0且a?1，b?0时, 则

12b的取值范围是(??,?)?(,??).

33a?1其中正确的命题是__________（把你认为所有正确的命题的序号都填上）． 【答案】③④

【解析】因为点P,Q在直线的两侧，所以(2a?3b?1)(2?1)?0，即2a?3b?1?0，所以①错误。当a?0时，得3b?2a?1，即

b21b22所以无最小值，所以②错误。a?b??，

a33aa的几何意义为点P(a,b)到原点(0,0)的距离。则原点到直线2x?3y?1?0的距离

d?122?32?11122，所以OP?,所以只要0?m?，则有a?b?m成立，131313所以③正确，如图.

b的几何意义表示点P(a,b)到点(1,0)连a?1线斜率的取值范围。

由图象可知k?21或k??，即33b12的取值范围为(??,?)?(,??)，所以④正确。所以正确的命题为③④。 a?133 28.【北大附中河南分校2013届高三第四次月考数学（文）】已知正实数x,y满足x?y?3?xy，

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若对任意满足条件的x,y，都有(x?y)?a(x?y)?1?0恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】(??,237] 622【解析】要使(x?y)?a(x?y)?1?0恒成立，则有(x?y)?1?a(x?y)，即

a?(x?y)?1x?y2恒成立。由x?y?3?xy得x?y?3?xy?()，即

2x?y(x?y)2?4(x?y)?12?0解得x?y?6或x?y??2（舍去）设t?x?y，则t?6，

函数y?(x?y)?111?t?，在t?6时，单调递增，所以y?t?的最小值为x?ytt6?1373737，所以a?，即实数a的取值范围是(??,]。 ?666629.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】若关于x，y的不等式组

?x?y?1?0,?（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 . ?x?1?0,?ax?y?1?0?【答案】3

【解析】先做出不等式??x?y?1?0,对应的区域如图

?x?1?0,。因为

直线ax?y?1?0过定点(0,1)，且不等式ax?y?1?0表示的区域在直线

ax?y?1?0的下方，所以三角形ABC为不等式组对应的平面区域，三角形的高为1，

所以S?ABC?解得a?3。 1?1?BC?2，所以BC?4，当x?1时，yC?1?a,所以yC?1?a?4，2高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

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