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【解析分类汇编系列四:北京2013高三(期末)文数】:5:数列(4)

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nnl(A)??ri(A)??cj(A).

i?1j?1(Ⅰ)对如下数表A?S(4,4),求l(A)的值;

(Ⅱ)证明:存在A?S(n,n),使得l(A)?2n?4k,其中k?0,1,2,?,n; (Ⅲ)给定n为奇数,对于所有的A?S(n,n),证明:l(A)?0.

(Ⅰ)

r1(A)?r3(A)?r4(A)?1,r2(A)??1;

c1(A)?c2(A)?c4(A)??1,c3(A)?1,

所以l(A)??r(A)??cii?1j?144j(A)?0. ??????3分

(Ⅱ)证明:(ⅰ)对数表A0:aij?1(i,j?1,2,3,?,n),显然l(A0)?2n. 将数表A0中的a11由1变为?1,得到数表A1,显然l(A1)?2n?4.

1?1,得到数表A2,显然l(A2)?2n?8. 将数表A1中的a22由变为

依此类推,将数表Ak?1中的akk由1变为?1,得到数表Ak. 即数表Ak满足:a11?a22???akk??1(1?k?n),其余aij?1. 所以 r1(A)?r2(A)???rk(A)??1,c1(A)?c2(A)???ck(A)??1.

所以 l(Ak)?2[(?1)?k?(n?k)]?2n?4k,其中k?0,1,2,?,n.?????7分 【注:数表Ak不唯一】 (Ⅲ)证明:用反证法.

假设存在A?S(n,n),其中n为奇数,使得l(A)?0.

因为ri(A)?{1,?1},cj(A)?{1,?1} (1?i?n,1?j?n),

所以r1(A),r2(A),?,rn(A),c1(A),c2(A),?,cn(A)这2n个数中有n个1,n个?1.

令M?r1(A)?r2(A)???rn(A)?c1(A)?c2(A)???cn(A).

一方面,由于这2n个数中有n个1,n个?1,从而M?(?1)n??1. ①

另一方面,r;1(A)?r2(A)???rn(A)表示数表中所有元素之积(记这n个实数之积为m)

2c1(A)?c2(A)???cn(A)也表示m, 从而M?m2?1. ②

①、②相互矛盾,从而不存在A?S(n,n),使得l(A)?0.

即n为奇数时,必有l(A)?0. ??????13分 错误!未指定书签。.(北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版))(本

2小题满分13分)已知函数f(x)?x?ax?a(x?R)同时满足:①函数f(x)有且只有一

个零点;②在定义域内存在0?x1?x2,使得不等式f(x1)?f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn?f(n)(n?N).

*(Ⅰ) 求函数f(x)的表达式; (Ⅱ) 求数列{an}的通项公式;

(Ⅲ) 在各项均不为零的数列{cn}中,所有满足ci?ci?1?0的整数的个数称为数列{cn}的变号数. 令cn?1?a,求数列{cn}的变号数. anⅠ)?f(x)有且只有一个零点,

???a2?4a?0 解得a?0,a?4 ??????1分

当a?4时,函数f(x)?x?4x?4在(0,2)上递减

故存在0?x1?x2,使得不等式f(x1)?f(x2)成立 ??????2分

2

当a?0时,函数f(x)?x在(0,??)上递增

故不存在0?x1?x2,使得不等式f(x1)?f(x2)成立 ??????3分 综上,得a?4,f(x)?x?4x?4 ??????????4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知Sn?n2?4n?4 当n?1时,a1?S1?1

??????5分

22当n?2时,an?Sn?Sn?1

?(n2?4n?4)?[(n?1)2?4(n?1)?4]

?2n?5 ????????????7分

n?1?1,??????????8分 ?an???2n?5,n?2

n?1??3,?(Ⅲ)由题设得 cn??, ??????9分 41?,n?2??2n?5?n?3时,cn?1?cn?448???0,

2n?52n?3(2n?5)(2n?3)?n?3时,数列{cn}递增, ????????????10分

14?c4???0,由1??0?n?5,可知c4?c5?0,

32n?5即n?3时,有且只有1个变号数;

又?c1??3,c2?5,c3??3,即c1?c2?0,c2?c3?0

∴此处变号数有2个; ??????????????????12分 综上得数列{cn}的变号数为3. ??????13分

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