【解析分类汇编系列四：北京2013高三(期末)文数】：5：数列(3)

成的数组(x1,x2,x3,?,xn)满足条件： ①

?xi?1ni?0； ②?xi?1.

i?1n(Ⅰ) 当n?2时，求x1，x2的值；

（Ⅱ）当n?3时，求证：3x1?2x2?x3?1； （Ⅲ）设a1?a2?a3???an,且a1?an(n?2)， 求证：

1ax?(a1?an). ?ii2i?1??x1?x2?0,(Ⅰ)???x1?x2?1.(1)(2)n

由（1）得x2??x1，再由（2）知x1?0，且x2?0.

1?x?,1??2当x1?0时，x2?0.得2x1?1，所以????????????2分

?x??1.2??21?x??,??12当x1?0时，同理得???????????????????4分

1?x?.2??2（Ⅱ）证明：当n?3时，

由已知x1?x2?x3?0,x1?x2?x3=1.

所以3x1?2x2?x3?x1?2(x1?x2?x3)?x3

?x1?x3?x1?x3?1.??????????????????9分

（Ⅲ）证明：因为a1?ai?an，且a1?an(i?1,2,3,?,n).

所以(a1?ai)?(ai?an)?(a1?ai)?(ai?an)?a1?an,

即a1+an?2ai?a1?an (i?1,2,3,?,n).???????????11分

1n1n1ax?ax?ax?ax???iiii1?in?i2i?12i?12i?1i?1nn?(2a?a?a)xi1ni?1ni

1n1n??(a1?an?2aixi)??(a1?anxi) 2i?12i?11?a1?an2?n?xi?1i

1(a1?an).???????????????????????14分 2错误！未指定书签。．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）（本题共14分）

已知曲线C:y2?2x(y?0)，A1(x1,y1),A2(x2,y2),???,An(xn,yn),???是曲线C上的点，且满足一列点Bi(ai,0)(i?1,2,???)在x轴上，且?Bi?1AiBi(B0是坐标原点）0?x1?x2?????xn????，

是以Ai为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求A1、B1的坐标； （Ⅱ）求数列{yn}的通项公式；

4（Ⅲ）令bi?,ci?ai?2??yi，是否存在正整数N，当n≥N时，都有

?b??c，若

iii?1i?1nn存在，求出N的最小值;若不存在，说明理由.

（Ⅰ）∵?B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，

∴直线B0A1的方程为y=x．

?y?x?2由?y?2x 得，x1?y1?2，得A1（2，2），B104),(?y?0?． ?.??.??.?......3分

（Ⅱ）根据?Bn?1AnBn和?BnAn?1Bn?1分别是以An和An?1为直角顶点的等腰直角三角形可

得，??an?xn?yn ，即xn?yn?xn?1?yn?1 ．（*）??.?????????..5分

?an?xn?1?yn?1∵An和An?1均在曲线C:y2?2x(y?0)上，

22∴yn?2xn,yn?1?2xn?1，

22ynyn22∴xn?,xn?1??1，代入（*）式得yn?1?yn?2(yn?1?yn)， 22∴yn?1?yn?2(n?N)．??????? ??????????..?..?.?..7分 ∴数列{yn}是以y1?2为首项，2为公差的等差数列，

故其通项公式为yn?2n(n?N) ． ????....??????????...??..8分

2yn?2n2， ?.?????????????????9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，xn?2**∴an?xn?yn?2n(n?1)，????????..????????????.?10分

42?∴bi?，ci?2i(i?1)i(i?1)∴

??2?yi?1， 2i?bi?i?1n222 ????1?22?3n(n?1)=2(1?111111??????) =2(1?)，?????.??..11分 223nn?1n?111(1?n)n11122?1?1． ????????.??12分 c???????in12222n2i?11?2欲使

?b??c，只需2(1?n?1)<1?2iii?1i?1nn11n，

n?11??n， ???????????????????.????13分 n?12n?11??0(n?N*),?n?0 ， n?12只需

∴不存在正整数N，使n≥N时，

?b??c成立．????????.14分

iii?1i?1nn错误！未指定书签。．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）现有一组互不

相同且从小到大排列的数据a0,a1,a2,a3,a4,a5，其中a0?0．记

n1xna?,yn??a0?a1???an??n?0,1,2,3,4,5?，T?aa?a?0?12?a3?a4，

5T作函数y?f?x?，使其图象为逐点依次连接点P,2,3,4,5?的折线． n?xn,yn??n?0,1（Ⅰ）求f?0?和f?1?的值；

（Ⅱ）设直线Pn?1Pn的斜率为kn?n?1,2,3,4,5?，判断k1,k2,k3,k4,k5的大小关系； （Ⅲ）证明：当x??0,1?时，f?x??x．

（Ⅰ）

f?0??a0?0， ???????????? 2分

a0?a1?a2?a3?a4?a5a0?a1?a2?a3?a4?a5?1； ????????????4分

a0?a1?a2?a3?a4?a5yn?yn?15?an，n?1,2,3,4,5． ???????????? 6分

xn?xn?1Tf?1??（Ⅱ）解：kn?因为 a0?a1?a2?a3?a4?a5，

所以 k1?k2?k3?k4?k5． ????????????8分

（Ⅲ）证：由于f?x?的图象是连接各点P,2,3,4,5?的折线，要证明n?xn,yn??n?0,1f?x??x?0?x?1?，只需证明f?xn??xn?n?1,2,3,4?．????9分

事实上，当x??xn?1,xn?时，

f?x??f?xn??f?xn?1???x?xn?1??f?xn?1?

xn?xn?1?xn?xx?xn?1f?xn?1??f?xn?xn?xn?1xn?xn?1 xn?xx?xn?1xn?1?xn

xn?xn?1xn?xn?1??x．

下面证明f?xn??xn． 法一：对任何n?n?1,2,3,4?，

5?a1?a2???an????n??5?n????a1?a2???an???????10分

?n?a1?a2???an???5?n??a1?a2???an??n?a1?a2???an???5?n?nan

??????????????11分

?n??a1?a2???an??5?n?an??

?n?a1?a2???an?an?1???a5??nT ??????????12分

所以 f?xn??a1?a2???ann??xn．??????????13分

T5法二：对任何n?n?1,2,3,4?， 当kn?1时，

yn??y1?y0???y2?y1?????yn?yn?1?

?1n?k1?k2???kn???xn；???????????????10分 55当kn?1时，

yn?y5??y5?yn?

?1????yn?1?yn???yn?2?yn?1?????y5?y4???

1?kn?1?kn?2???k5? 51n?1??5?n???xn.

55?1?综上，f?xn??xn． ???????????????13分

错误！未指定书签。．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）如图，设A是由n?n个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i,j?1,2,3,?,n)表示位于第i行第j列的实数，且aij?{1,?1}．记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合．

对于A?S(n,n)，记ri(A)为A的第i行各数之积，cj(A)为A的第j列各数之积．令

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