《计算流体力学》练习题 Copyright by 李新亮
一维算例
问题1：正弦波的线性传播问题
[问题描述]： 一匀速传播的正弦波，试用数值解给出t=T时刻的速度场。 [控制方程]：
?u?t??u?x?0u(x,0)?sin(2?x)x?[0,1]；
周期性边界条件
[目的] 通过算例考核差分格式的耗散及色散误差 [计算网格] 均匀网格，20个网格点 [要求]
A. 计算出t=2, 5, 10时刻的速度场
B. 为了避免时间离散误差的影响，时间推进采用较高精度的方法（推荐采用
如下三阶TVD型 Runge-Kutta方法）： 设
?u?t?Q(u)，则
u(2)(1)?un??tQ(u)(1)n
(1)u?3/4un?1/4u?1/4?tQ(u)
)
un?1?1/3un?2/3u(2)?2/3?tQ(u(2)其中 un和un?1分别为n时间步及n+1时间步的u值。
为了尽量减小时间离散误差的影响，建议采用很小的时间步长（例如 ?t?0.001，或?t?0.005）
C. 采用多种差分方法计算，对这些方法的结果进行比较 （同时画出精确
解）。
问题2：方波线性传播问题
（Jiang GS & Shu CW, J. Comput. Phys. 126,202-228,1996）.
图1. 方波、尖波的传播
[控制方程]
?u?t??u?x?0
u(x,0)?u0(x)x?[?1,1]，周期性边界条件
其中初值为：
该函数的曲线如图1所示，包含了一个方波，一个尖波及另外两个相对光滑的波。
[目的] 考察差分格式对于（导数）间断问题的分辨率。
[要求] 采用200个网格点，给出t=8时刻u的分布，并与精确解进行对比。 为了减小时间误差的影响，推荐采用三阶Runge-Kutta方法（公式见上文）或更高阶方法进行时间推进。计算的CFL数选为0.1或更小。
采用多种差分方法计算，对这些方法的结果进行比较 （同时画出精确解）。
问题 3： Sod 激波管问题
?2,u2,p2?1,u1,p1
[问题描述]
Sod激波管问题是典型的一类Riemann问题。如图所示，一管道左侧为高温高压气体，右侧为低温低压气体，中间用薄膜隔开。t=0 时刻，突然撤去薄膜，试分析其他的运动。
[控制方程]
一维Euler方程。
[无量纲化]
以初始时刻左侧气体的密度、压力及音速无量纲化。 因此计算过程中，参数Ma=1
计算域：0< x< 1；网格： 均匀网格， 网格数100 初值：
x?0.5?(1,0,1)(?,u,p)??x?0.5?(0.125,0,0.1)
要求：
给出t=0.14时刻的密度、速度和压力分布
边界处理方法：
在t=0.14时刻，扰动尚未传播到左、右边界。因此左、右边界处的值保持不变。
推荐使用Steger-Warming 分裂，差分数值方法不限。
[部分提示]
1. 计算步骤
采用一维Euler方程组，利用Steger-Warming分裂。参见《计算流体力学》（傅德薰编著），132-133页的公式。 控制方程为：
?U?t??f?x?0
各项的具体表达式见参考书128-129页。 计算步骤为： 1） 给定初值 U0
2） 由 （6.1.11）式计算出?i， 由公式?i3） 由公式（6.1.26）计算出4） 利用差分法计算
?f????i??i2,?i???i??i2计算出?i?
f?，
f?
?x，
?f??x差分格式自选，建议采用激波捕捉格式。 初次试算可采用最简单的一阶迎风差分，格式如下。
(?f1??x)i?(f1)i?(f1)i?1?x??；(?f1??x)i?(f1)i?1?(f1)i?x??
但该格式耗散太大，得出的结果不理想，仅作为调试程序时使用。
5） 计算出右端项
?f?x??f??x??f??x?Q??Q
6） 利用时间推进法求解?U?t，推进出下一时间步的U
建议采用Runge-Kutta方法。为了避免时间误差的影响（本算例的目的是考察差分格式的空间精度），可采用比较小的时间步长。
7) 反复计算直到达到指定时间步
3. 参考书中一些变量的表达式
无量纲情况下，下列变量表达式为：
Cv?1?(??1)M2，Cp1M1?1(??1)M2
c?p?T
?M2?T??1.4为比热比，M=1为Mach数。
4. 精确解的计算
可以采用 (傅德薰《计算流体力学》2.4节 ) 的Riemann间断解。也可用非常密集网格（例如8000个网格）的数值解。
采用多种差分方法计算，对这些方法的结果进行比较 （同时画出精确解）。
问题4： 一维激波-熵波干扰
（Jiang GS & Shu CW, J. Comput. Phys. 126,202-228,1996）
控制方程：
一维Euler方程， 计算域 初值：
x?[0,5]
??0.01,k?13
要求： 采用800及1200网格计算。画出熵的分布。
问题5： Shu-Osher问题
（Shu C W, Osher S. Efficient Implementation of Essentially Non-oscillatory Shock-Capturing Schemes I. J. Comp. Phys., 1988, 77: 439-471）
初值为：
???3.857,u?2.629,p?10.333????1?Asin(?x),u?0,p?1whenwhenx?0.1x?0.1
其中 A?0.3,??40 计算域
x?[0,1]
采用400，800个网格点计算，给出t=0.2时刻的流场
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