2015年浙江省杭州市西湖高中高一上学期数学期中考试试卷

2015年浙江省杭州市西湖高中高一上学期数学期中考试试卷

一、选择题（共8小题；共40分） 1. 3??=4，则 ??= ??

A. log43

B. 64

C. log34

D. 81

2. 若集合 ??= ?? 2≤??<4 ，??= ?? ??≥3 ，则 ??∩?? 等于 ??

A. ?? 3≤??<4 B. ?? 3

C. ?? 2≤??<3 3. 函数 ?? ?? =

C. 1,2

4. 下列函数中哪个与函数 ??=?? 相等 ??

A. ??= ??

2

???1 的定义域为 ?? ???2

D. ?? 2≤??≤3

A. 1,2 ∪ 2,+∞ B. 1,+∞ D. 1,+∞

??2??

B. ??= ??3

3

C. ??= ??2

D. ??= 5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ??

A. ??=???3，??∈?? C. ??=??，??∈??

B. ??=??2，??∈?? D. ??= 2 ，??∈??

B. ??

C. ??

D. ??

1??

6. 设 ??=20.3，??=0.32，??=log20.3，则 ??，??，?? 的大小关系是 ??

A. ??

7. 函数 ?? ?? =log?? ??+1 ，在 ?1,0 上有 ?? ?? >0，那么 ??

A. ?? ?? 在 ?∞,0 上是增函数 B. ?? ?? 在 ?∞,0 上是减函数 C. ?? ?? 在 ?∞,?1 上是增函数 D. ?? ?? 在 ?∞,?1 上是减函数 8. 设定义在区间 ???,?? 上的函数 ?? ?? =lg范围是 ??

1+????1?2??

是奇函数（??,??∈??，且 ??≠?2），则 ???? 的取值

A. 1, 2 B. 0, 2 C. 1, 2 D. 0, 2

二、填空题（共3小题；共15分）

9. 计算 0.064

?

13

+ ? ?2log25.5+8

10

2 2?1，结果是 ．

10. 关于 ?? 的一元二次方程 ??2+????+2??+1=0 一个根大于 1，一个根小于 1，则实数 ?? 的取值

范围是 ．

11. 函数 ??=log1 ???2+2??+8 单调增区间是 ，值域是 ．

3

三、解答题（共4小题；共52分）

12. 设全集 ??= ?? ??是小于10的正整数 ，??= 1,2,3,4 ，??= 3,4,5,6 ，求

第1页（共9页）

（1）用列举法表示全集 ??；

（2）??=??∩??，则写出集合 ?? 的所有子集；

（3）??? ??∩?? ．

13. 从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园，甲、乙两家离公园入口都是 2 公里，甲从 10 点钟出

发前往乙同学家，如图所示是甲同学从自己家出发到乙家经过的路程 ??（公里）和时间 ??（分钟）的关系．根据图象，回答下列问题：

（1）甲在公园休息了吗?若休息了，休息了多长时间?

（2）写出 ??=?? ?? 的解析式． 14. 已知 ?? ?? =log1 1+?? ?log1 1??? ．

22（1）求 ?? ?? 的定义域；

（2）求使 ?? ?? >0 成立的 ?? 的取值范围． 15. 函数 ?? ?? =log?? 2????? ??>0,??≠1 ．

（1）当 ??=3 时，求函数 ?? ?? 的定义域；

（2）若 ?? ?? =?? ?? ?log?? 2+???? ，判断 ?? ?? 的奇偶性；

（3）是否存在实数 ??，使函数 ?? ?? 在 2,3 递增，并且最大值为 1，若存在，求出 ?? 的值；若

不存在，说明理由．

四、填空题（共5小题；共25分）

16. ?? ?? 为 ?? 上奇函数，当 ??≥0 时，?? ?? =??+1，则当 ??<0 时，?? ?? = ．

17. 在同一坐标系中，??=2?? 与 ??=log2?? 的图象与一次函数 ??=???+6 的图象交于两点，则这两

个交点的横坐标之和为 ．

18. 设函数 ?? ?? 在 ?? 上存在导数 ??? ?? ,???∈??，有 ?? ??? +?? ?? =??2，在 0,+∞ 上 ??? ??

若 ?? 2??? ??? ?? >2?2??，则实数 ?? 的取值范围为 ．

2??,??≤019. 已知函数 ?? ?? = ，若 ?? ?? ≥???? 恒成立，则 ?? 的取值范围是 ．

ln ??+1 ,??>020. 已知 ?? 为常数，函数 ??= ??2?2????? 在区间 0,3 上的最大值为 2，则 ??= ．

五、解答题（共3小题；共39分） 21. 已知 ??>1，?? ?? =?????

1????

．

（1）证明 ?? ?? 在 ?∞,+∞ 是增函数；

（2）判断函数 ?? ?? 是否有零点，若有求出零点；

（3）若 ?? ?? 满足 ??=2，且 ??∈ ?1,1 时，有 ?? 1??? +?? 1???2 <0，求 ?? 的取值范围． 22. 已知二次函数 ?? ?? =??2+????+?? 关于 ??=1 对称，且其图象经过原点．

第2页（共9页）

（1）求这个函数 ?? ?? 的解析式；

（2）若函数 ?? ?? =?? 2?? ，求函数 ?? ?? 在 ??∈ ?3,2 上的值域；

（3）若函数 ?? ?? =?? ?? ???（?? 为常数），试讨论此函数 ?? ?? 的零点个数情况，并说出相

应 ?? 的取值范围．

23. 已知函数 ?? ?? =???2??

2+??+3

??∈?? 为偶函数，且 ?? 3

（1）求 ?? 的值，并确定 ?? ?? 的解析式；

（2）若 ??=log?? ?? ?? ????? （??>0，且 ??≠1）在区间 2,3 上为增函数，求实数 ?? 的取值范

围．

第3页（共9页）

答案

第一部分 1. C 3. A

【解析】因为 ??= ?? 2≤??<4 ，??= ?? ??≥3 ，所以 ??∩??= ?? 3≤??<4 ．

???1≥0, ???1【解析】因为式子 有意义的条件为

???2???2≠0,2. A

???1 的定义域为 1,2 ∪???2

解得 ??≥1 且 ??≠2， 所以函数 ?? ?? =4. B

2,+∞ ．

【解析】A．函数的定义域为 ?? ??≥0 ，两个函数的定义域不同．

B．函数的定义域为 ??，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数． C．函数的定义域为 ??，??= ?? ，对应关系不一致．

D．函数的定义域为 ?? ??≠0 ，两个函数的定义域不同． 5. A

【解析】对于A．因为幂函数 ??=??3 是 ?? 上的增函数且是奇函数，所以 ??=???3 既是奇函数又是减函数，故 A 正确；

对于B，??=??2 是偶函数，故不正确，

对于C，??=?? 是 ?? 上的增函数，不符合题意，故不正确；

对于D，?? ??? =2??≠??? ?? ，函数是 ?? 上的减函数，但它不是奇函数，故不正确． 6. B

7. C

【解析】由题意 ?? ?? =log?? ??+1 ，在 ?1,0 上有 ?? ?? >0，可得 ??∈ 0,1 ，由此知

??=log???? 是一个减函数．

A选项不正确，因为 ??∈ ?∞,0 时，内层函数 ??+1 不是一个单调函数，故不能得出 ?? ?? 在 ?∞,0 上是增函数，

B选项不正确，因为 ??∈ ?∞,0 时，内层函数 ??+1 不是一个单调函数，故不能得出 ?? ?? 在 ?∞,0 上是减函数，

C选项正确，因为 ??∈ ?∞,?1 时，内层函数 ??+1 是一个单调减函数，故能得出 ?? ?? 在 ?∞,?1 上是增函数，

D选项不正确，因为 ??∈ ?∞,?1 时，内层函数 ??+1 是一个单调减函数，故能得出 ?? ?? 在 ?∞,?1 上是增函数，所以D 不正确． 8. A

【解析】因为定义在区间 ???,?? 内的函数 ?? ?? =lg1?2?? 是奇函数， =?lg=

1+????

1+????

所以 ?? ??? =??? ?? ， 即 lg

1?????1+2??1?????

1?2??1?2??

=lg

1?2??1+????

，

则有

即 1?????=1?4??2， 解得 ??=±2， 又因为 ??≠?2， 所以 ??=2．

则函数 ?? ?? =lg1?2??，

1+2??

1+2??1+????

22

，

第4页（共9页）

要使函数有意义，则

1

1

1+2??1?2??

>0，

即 1+2?? 1?2?? >0， 解得：?2

即函数 ?? ?? 的定义域为： ?2,2 ， 所以 ???,?? ? ?2,2 ， 所以 0

【解析】

= 5

3× ?

13

11

11

1

+1?5.5+ 2 2+1 2?1 2+1 2?1

?4.5+2 2+2

=2.5+2?4.5+2 2=2 2.2

10. ?? ??

3

【解析】设 ?? ?? =??2+????+2??+1，

由题意可得：函数 ?? ?? 与 ?? 轴交点一个在 ??=1 的左侧，一个在右侧，所以 ?? 1 <0 即可，解得 ??

11. 1,4 （或 1,4 ）， ?2,+∞

【解析】??=log1 ???2+2??+8 由函数 ??=log1?? 和 ??=???2+2??+8 复合而成，

332

而 ??=log1?? 在 0,+∞ 上是减函数，

3又因为 ???2+2??+8 在真数位置，

故需大于 0，??=???2+2??+8>0 的单调递减区间为 1,4 ，

??=???2+2??+8 的值域为 0,9 ，??=log1??，??∈ 0,9 的值域为 ?2,+∞ ．

3 第三部分

12. （1） 全集 ??= ?? ??是小于10的正整数 = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ； （2） ??= 1,2,3,4 ，??= 3,4,5,6 ，

??=??∩??= 3,4

所以集合 ?? 的所有子集是 ?， 3 ， 4 ， 3,4 ； （3） ??? ??∩?? = 1,2,5,6,7,8,9 ．

13. （1） 由题意，当 30

（2） 当 0≤??≤30 时，设 ?? ?? =????，将 30,2 代入可得 ??=15， 所以 ?? ?? =15??；

第5页（共9页）

1

1

当 30

40??+??=2,当 40

60??+??=4,所以 ??=

110

，??=?2，

110

所以 ?? ?? =???2，

115

0≤??≤3030

1

????2,400,14. （1） 由题意得：

1???>0,解得：?1

（2） 若 ?? ?? >0 成立，则 log1 1+?? >log1 1??? ，

22???,

1+??>0,

则 1???>0,

1+??<1???,解得：?1

故使 ?? ?? >0 成立的 ?? 取值范围为 ?1,0 ． 15. （1） 由题意：?? ?? =log?? 2?3?? ， 所以 2?3??>0，即 ??<，

32

2

所以函数 ?? ?? 的定义域为 ?∞, ；

3

（2） 易知 ?? ?? =log?? 2????? ?log?? 2+???? ， 因为 2?????>0 且 2+????>0， 所以 ???

又因为 ?? ?? =log?? 2????? ?log?? 2+???? =log??2+????， 所以 ?? ??? =log??2?????=?log??2+????=??? ?? ， 所以 ?? ?? 为奇函数． （3） 令 ??=2?????， 因为 ??>0，??≠1，

所以 ??=2????? 在 2,3 上单调递减， 又因为函数 ?? ?? 在 2,3 递增， 所以 0

又因为函数 ?? ?? 在 2,3 的最大值为 1， 所以 ?? 3 =1，即 ?? 3 =log?? 2?3?? =1， 所以 ??=，

21

2+????

2?????

2?????

2

2

因为 0

1

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