个性化辅导讲义1(高中数学基本初等函数知识点及经典例题)(7)

个性化辅导讲义【例 1】按从小到大的顺序排列下列各数： 3 2 , 0.3 2 , 2 2 ,0.2 2 . 解：构造四个指数函数，分别为 y 3x , y 0.3x , y 2 x ,

图象由下至上， 依次是 y 0.2 x , y 0.2 x ,它们在第一象限内，y 0.3x , y 2 x , y 3x . 如右图所示.

由于 x 2 0 ,所以从小到大依次排列是：0.2 2 , 0.3 2 , 2 2 , 3 2 . 2x 1 【例 2】 已知 f ( x) x . (1) 讨论 f ( x) 的奇偶性； (2) 2 1 讨论 f ( x) 的单调性.

解： (1) f ( x) 的定义域为 R.2 x 1 (2 x 1) 2 x 1 2 x 2x 1 x x f ( x) . 2 x 1 (2 1) 2 x 1 2 x 2 1 ∴ f ( x) 为奇函数.

∵ f ( x)

(2)设任意 x1 , x2 R ,且 x1 x2 ,则f ( x1 ) f ( x2 ) 2 x1 1 2 x2 1 2(2 x1 2 x2 ) . x2 x1 2 x1 1 2 1 (2 1)(2 x2 1)

由于 x1 x2 ,从而 2 x1 2 x2 ,即 2x1 2x2 0 . ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ,即 f ( x1 ) f ( x2 ) . ∴ f ( x) 为增函数.2

【例 3】求下列函数的单调区间： (1) y a x 解： (1)设 y au , u x 2 2 x 3 .

2 x 3

;

(2) y

1 . 0.2 x 1

由 u x2 2 x 3 ( x 1)2 4 知， u 在 ( , 1] 上为减函数，在 [ 1, ) 上为增函数. 根据 y au 的单调性，当 a 1 时，y 关于 u 为增函数；当 0 a 1 时，y 关于 u 为减函数. ∴ 当 a 1 时，原函数的增区间为 [ 1, ) ,减区间为 ( , 1] ; 当 0 a 1 时，原函数的增区间为 ( , 1] ,减区间为 [ 1, ) . 1 (2)函数的定义域为 {x | x 0} . 设 y , u 0.2 x . 易知 u 0.2 x 为减函数. u 1 1 而根据 y 的图象可以得到，在区间 ( ,1) 与 (1, ) 上，y 关于 u 均为减函数. u 1 ∴在 ( ,0) 上，原函数为增函数；在 (0, ) 上，原函数也为增函数. ¤例题精讲： 【例 1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 1 (1) 2 7 ; (2) 3a 27 ; (3) 10 1 0.1 ; 128 (4) log 1 32 5 ; (5) lg 0.001 3 ; (6)ln100=4.606.2

解： (1) log 2

1 7 ; 128

(2) log3 27 a ;

(3) lg 0.1 1 ;

1 (4) ( ) 5 32 ; (5) 10 3 0.001 ; (6) e4.606 100 . 2 【例 2】计算下列各式的值： (1) lg 0.001 ; (2) log 4 8 ; (3) ln e .

解： (1)设 lg 0.001 x ,则 10 x 0.001 ,即 10x 10 3 ,解得 x 3 . 所以， lg 0.001 3 . 3 3 (2)设 log 4 8 x ,则 4 x 8 ,即 22 x 23 ,解得 x . 所以， log 4 8 . 2 27

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