第七章 第八章习题解答（李永乐）(2)

似然方程为

?lnL(?)nn ???lnXi?0

???i?1???(1lnX)?1． 解得??ini?1 (3)似然函数为

nn??n L(?)?似然方程为

???Xi?1i??1??Xi?e??(?Xi)ni?1??1?en?Xi?i?1n

?lnL?()nn? ???Xi?0

???i?1??(1X?)?1． 解得??ini?1 (4)似然函数为

n L(?)?似然方程为

??(r)Xi?1n?rr?1??Xiie??nr(?(r))n(?Xi)r?1e??nX

i?1n?lnL(?)nr??nX?0 ?????解得?r． X) (5似然函数为

L(?)?似然方程为

??ei?1n1?Xi??1?ne1?nX?

?lnL(?)nnX???2?0 ????6

??X． 解得?6.设总体X的密度为

f(x;?)?(??1)x?,0?x?1

其中???1未知，X1,X2,?,Xn为其样本,求?的矩估计和极大似然估计.今得样本观察值0.30,0.80,0.27,0.35,0.62,0.55,求?的矩估计值和极大似然估计值.

解 EX??10x(??1)x?dx???1??1，由矩法令X?，解得矩估计??2??2???M1???0.07． ?2，矩估计值为?M1?Xnn似然函数为 L(?)?似然方程为

n?lnL(?)n ???lnXi?0

????1i?1?(??1)Xi?1?i?(??1)(?Xi)?

ni?1?1n????0.234． 解得极大似然估计?L??1???lnXi?，极大似然估计值?L?ni?1?7.设X1,X2,?,Xn为抽自U[?,2?]的样本,求?的矩估计和极大似然估计. 解 EX??13?3??M?2X． ，由矩法令X?，解得?223似然函数为

L(?)?

1?n1,??X1,X2,?,Xn?2?

??n,??X(1)?X(n)?2?故X(1)和

1?L?min?X,1X?． X(n)都有可能是?的极大似然估计，一般取??(1)(n)?22??7

8.设总体X具有分布律

X 1 2 3

pk ?2 2?(1??) (1??)2

其中0???1未知.已取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1.求?的极大似然估计值.

解 似然函数为

L(?)??2?2?(1??)??2?2?5(1??) 似然方程为

?lnL(?)51???0 ???1????解得?5． 6x9.设总体X具有密度函数

1??f(x;?)?e,???x??

2?其中??0未知,X1,X2,?,Xn为其样本.求?的极大似然估计.

解 似然函数为

?Xii1?X1?e?nnei?1 L(?)??2?i?12?n1??n似然方程为

?lnL(?)n1 ???2??????1解得??Xi．

ni?110.设总体X有密度函数

n?Xi?1ni?0

?e?(x??),x??f(x;?)??

x???0,其中??????未知,X1,X2,?,Xn为其样本.求?的矩估计和极大似然估计.

?M?X?1． 解 EX?1??，令X?1??，解得矩估计?

8

似然函数为

L(?)??e?(Xi??)?e?n(X??),X(1)??i?1n

?e?n(X?X(1)),X(1)???L?X． 故?的极大似然估计为?(1)11.设总体X~N(?,?2),X1,X2,?,Xn为其样本.

21?(1) 求k,使???(Xi?1?Xi)2为?2的无偏估计; ki?1n?11n?(2) 求k,使???Xi?X为?的无偏估计. ki?1解 (1) Xi?1?Xi?N(0,2?2)，E(Xi?1?Xi)2?D(Xi?1?Xi)?2?2

21n?11222? E???E(Xi?1?Xi)?2(n?1)???

ki?1k故k?2(n?1)．

11n?12(2) Xi?X?(1?)Xi??Xj?N(0,?)

nnj?in EXi?X?????x1n?12??exp??x22??dx

nn?1??2??n ?2??0x12(n?1)n?12??exp??x22??dx??

nn?n?1??2??n1n12(n?1)12n(n?1)? E???EXi?X?n??? ki?1kn?k?所以k?2n(n?1)?．

9

?是参数?的无偏估计,且有D(??)?0,证明??不是?的无偏估计. 12.设?22??)?[E??]2?D(??)??2??2. 解 E??D(?213.设从均值为?,方差为??0的总体中,分别抽取容量为n1,n2的两个独立样本.X1和X2分别是两样本的均值.试证,对于任意a,b(a?b?1),Y?aX1?bX2都是?的无偏估计,并确定常数a,b使D(Y)达到最小.

解 EY?E(aX1?bX2)?aEX1?bEX2?a??b??(a?b)???

2a2b22D(Y)?D(aX1?bX2)?a?b?(?)?

n1n2n1n222?2?2a2b2a2(1?a)2即在条件a?b?1下,求，求导得 ?的最小值.令L(a)??n1n2n1n2

dL(a)2a2(1?a)???0 dan1n2解得a?n1n2，b?．

n1?n2n1?n214.设分别自总体N(?1,?2)和N(?2,?2)中抽取容量为n1,n2的两个独立样本.

22其样本方差分别S12,S2.试证,对于任何常数a,b(a?b?1),Z?aS12?bS2都是?2的无偏估计,并确定常数a,b求求D(Z)达到最小.

2解 EZ?aES12?bES2?a?2?b?2?(a?b)?2??2.利用

(ni?1)Si2?2??2(ni?1),i?1,2

2?4得D(S)?,i?1,2，所以

ni?12ia2b2 D(Z)?aD(S)?bD(S)?2(?)?4

n1?1n2?1221222n1?1n2?1a2b2b?即在a?b?1下，求的最小值,求得a?，. ?n1?n2?2n1?n2?2n1?1n2?1

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