第七章 第八章习题解答（李永乐）

习 题 六

1.设有总体X的10个独立观察值

19.1，20.0，21.2，18.8，19.6，20.5，22.0，21.6，19.4，20.3

2求样本均值X，样本方差S和样本二阶中心矩Sn.

22.设X1,X2,…,Xn是来自于U(0,?)的样本,求X?1?与X?n?的分布函数和密度函数.

3.从总体N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,?,X5.求: (1)样本均值大于13的概率; (2)样本极小值小于10的概率; (3)样本极大值大于15的概率.

24.从总体N240,20中独立地进行两次抽样,容量分别为36和49,那么这两

??个样本均值之差的绝对值不超过10的概率是多少?

5.设某电子元件的寿命(时数)服从参数为??0.0015的指数分布,即有密度

f?x??0.0015e?0.0015x?x?0?.今测试6个元件,并记录下它们各自失效的时间(单

位:小时).试问:

(1)至800小时时没有一个元件失效的概率是多少? (2)至3000小时时所有元件都失效的概率是多少?

6.设总体服从N(20,3),问应取样本容量n为多大,才能以0.95的概率保证样本均值与总体均值之差的绝对值不超过0.3?

?102?7.设X1,X2,?,X10为N(0,0.3)的样本,求C使P??Xi?C??0.95.

?i?1?28.已知T?t?n?,则T?F?1,n?.

29.设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N?,??2?的样本,X与S___2分别为样本均

值和样本方差;又设Xn?1与X1,X2,?,Xn独立同分布,试求统计量

1

nXn?1?Xn(Xn?1?X)2 和n?1Sn?1S2的分布.

210.设X1,X2是来自N0,?的样本.

???X1?X2?的分布; (1)求2?X1?X2?(2)求常数k,使

2??X?X????12P??k??0.10 22????X1?X2???X1?X2??211.设X1,X2,?,X5是来自总体N0,?的样本.求常数C,使统计量

2??C?X1?X2?X?X?X232425服从t-分布.

12.设X1,X2,?,Xn是来自指数分布

??e??x,f(x)???0,的样本,证明2n?X?___x?0x?0 (?>0)

?2?2n?.

22213.设从正态总体N(?,?)中抽取一容量为16的样本，这里?,?未知.S为样本方差.求:

?S2?2(1)P?2?2.0385?; (2)D(S).

???14.设总体X~b(1,p),X1,X2,?,Xn是来自X的样本. (1)求

?Xi?1n2i的分布律；(2)求E(X),D(X),ES.

215．设(X1,X2,?,Xn)是来自总体X的样本.记

2

1n1n2Xn??Xi,Sn??(Xi?Xn)2ni?1ni?1现添加一次试验,得样本(X1,X2,?,Xn,Xn?1).再记

1n?11n?12 Xn?1?Xi,Sn?1?(Xi?Xn?1)2 ??n?1i?1n?1i?1则有下列递推公式:

1(Xn?1?Xn), n?1n122Sn[Sn?(Xn?1?Xn)2]. ?1?n?1n?1Xn?1?Xn?16.设总体X的容量为50的样本频数分布为

xi ni 1 10 4 15 6 25

求X的经验分布函数.

17.设总体X的容量为100的样本观察值如下:

15 20 15 20 25 25 30 15 15 30 25 35 30 35 20 35 20 30 20 25 35 30 25 20 35 25 15 25 35 25 25 30 35 20 30 30 15 30 40 30 25 40 20 25 20 15 20 25 25 25 40 35 25 30 20 35 35 25 25 30 25 30 25 30 43 22 20 23 20 25 15 25 30 43 35 45 30 45 30 45

作总体X的直方图.

30 30 30 35 40 25 20 43 20 45 25 25 25 25 15 40 15 25 25 35

3

1.使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量,其结果为(单位:mm)

232.50 232.48 232.15 232.52 232.53 232.30 232.48 232.05 232.45 232.60 232.47 232.30

用矩估计法估计测量的真值和方差(设仪器无系统误差). 解 设?为待测量的真值,则测量值Xi与?有以下关系式

Xi????i,E?i?0,D(?i)??2,i?1,2,?,12

故?和?的矩估计值为

21122?? ??X?232.4025,??Sn?(Xi?X)2?0.02555 ?12i?12

2.设总体X服从正态N(?,1),今观察了20次 ,只记录是否为负值,若事件

?X?0?出现了14次,试按频率估计概率的原理,求?的估计值.

解 令

14?P?X?0??P?X????????(??) 20查正态分布表得???0.525．

3.设总体X具有密度函数

?2?2(??x),0?x?? f(x:?)????其它?0,X1,X2,?,Xn是其样本,求?的矩估计.

解 EX???0x2?(??x)dx?2??t(1?t)dt?201?3，由矩法令X??3，解得

??3X． ?4.设X~b(N,p),0?p?1,X1,X2,?,Xn为其样本.求N和p的矩估计.

2解 因 EX?Np,D(X)?Np(1?p)，由例7-1，令X?NpS,nN?p2S??X． 解得?p?1?n,N?Xpp1(?)

4

5.设总体X的密度函数(或分布律)为f(x;?),X1,X2,?,Xn为其样本,求下列情况下?的极大似然估计.

(1)??x???e,x?0,1,2?f(x;?)??x! (??0)

?0,其它???1???x,0?x?1f(x;?)?? (??0)

其它??0,(2)(3)??1??x????xe,x?0 (?已知) f(x;?)??其它??0,?(4)??rr?1??xxe,x?0?f(x;?)???(r) (r已知)

?0,其它?x?1???e,f(x;?)????0,? (5)x?0x?0 (??0)

解 (1似然函数为 )

L(?)??X!ei?1in?Xi????n?Xii?1nei?n???nX?X!i?1?X!ii?1ne?n?

似然方程为

?lnL(?)nX??n?0 ?????X． 解得?(2)似然函数为

L(?)?

??Xi?1n??1i??(?Xi)??1

ni?1n5

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