微分方程复习(4)

解 将上式两边对x求导，得f?(x)?2e2x??x0f(t)dt，再对上式求导，得

f??(x)?4e2x?f(x)，即f??(x)?f(x)?4e2x。有已知即上式可知

f(0)?1,f?(0)?2。

?y???y?4e2x,因此所求函数y?f(x)满足下列初值问题?，易得其通解为

?y|?1,y|?2x?0?x?0412Y?C1cosx?C2sinx?e2x根据初值条件，得C1?,C2?。从而所求的函数为

555124f(x)?cosx?sinx?e2x。

5559． 光滑曲线l过原点和点（2，3），如图所示，任取l上一点P(x, y)，过点P作两坐标

轴的平行线PA、PB，PA与x轴和曲线l所围成图形的面积等于PB与y轴和曲线l所围成图形的面积的2倍，求曲线l的方程。

解 OAPO的面积为

?x0y(x)dx，根据题意课找到含有y(x)的积分的关系式，从而可

x0建立微分方程。

（1）列方程 设所求曲线l的方程为y?y(x)。由题设条件知

?y(x)dx?2xy(x)，3这是一个积分方程，两边对x求导，得3y?2(xy??y)，即2xy??y?0。

（2）初值问题 由题设曲线过点（2，3），可得初值条件y|x?2?3，即初值问题为

?2xy??y?0 ?y|?3?x?2

2（3）解方程 由分离变量法，解得y?Cx。代入初值条件y|x?2?3，得C?29，故2所求曲线l的方程为y?

9x。 2 16

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