微分方程复习(3)

平方：

y?2?2(1?x)2y??(1?x)??15y??(1?x)15?25?1?y?2）

461555?(1?x) 2y??(1?x)5?(1?x)5?c2

46645555代入初值 y(0)?0c2? 故 y?(1?x)5?(1?x)5?

1212824当x?1，y?5击中。 24

?线段长?线段长?小结：用几何关系建立方程?面积?面积

?曲线长?线段长?4.3.2 物理问题 例4 物理问题 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为?，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k?0)，试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y?y(v)。

解 取沉放点为原点O，Oy轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得

d2ym2?mg?B??kv dt

dvd2ydvdvdydv依题意，2?(??)v，代入上式消去t，得mv?mg?B??kv

dydtdtdydtdy

分离变量得

dy?mvdv

mg?B??kvmm(mg?B?)v?ln(mg?B??kv)?c 2kkm(mg?B?)ln(mg?B?) 由初始条件v|y?0?0定出c?2k积分后得

y??故所求函数关系式为y??4.3.3 微元分析法

mm(mg?B?)mg?B??kvv?ln 2kkmg?B?例5 设一半径为6cm，高为25cm的圆柱体容器充满水，其底部有一0.2（cm）的

2 11

小孔，那么水就以v?0.62ghcm/s的速度从小孔流出。（h为自由水面到柱底的高度）

g?980cm/s2，求水流规律（h（t）＝？）

解 设t时刻，自由水面高度为h(t)，再经dt时段水位下降位dh

则dh??R?v?sdt，则

2s?0.62ghdh ??2dt?Rt?3010?(5?h)，令h?0 t＝213秒 7?dh??K2gh记 ?dt 解得

??h(0)?25例6 设一车间容积为10000M。空气中含有0.12%CO2（以容积记计算）。现将含有

30.04%CO2的新鲜空气以1000M3/mm的速度输入车间，同时以1000M3/mm的流量抽

出混合气体。问10分钟后，车间内CO2的浓度降到多少？

3解：设t时刻，车间内含CO2xM，经dt时段CO2改变量为dx，则dx?输入CO2－3输出CO2＝10dt?0.04%－10dt?3x 1044?dxxt????10?4 整理得?dt1010解得 X?8e?x|?104?0.12%?12?x?0此时浓度为

X(10)?6.96(M3)

6.96?0.0696%

100004.3.4 “翻译”！ 例7 一半球形雪堆其溶化速度与半球表面积成正比，比例系数K?0,假设溶化过程中，雪堆始终保持半球体状。已知半径r0的雪堆开始溶化3小时，其体积是原来的溶化需多少时间？

1，问全部8

?dr?dt??K?23dv2dr??KS??3?r2??2K?r2??r(0)?r0 解 t时段 v(t)??r(t)

3dt3dt?1?r(3)?r02?1r??r0t?r0

6令r?0?t?6（全部溶化）。

例8 人口问题、细菌繁殖、种群繁殖、新产品推广

某种群增长速度除与该种群个体数量x(t)成正比，还由于受环境制约而与(1??x(t))

12

成正比，试求该种群x?x(t)函数关系。

解

dx?kx(1??x)dtx1dx?kt?c1 x? ?kdt 积分得ln1??x??ce?ktx(1??x)若给定x(0)?x0初值，则可定c?令t??x(t)?注：（1）原始：

1x0 ??，从而x??ktx0?x0?(1??x0)e1?，是该环境对此种群的容纳量。

dxx?kx(A?x)?kAx(1?)，A为总容量。 dtA（2）本模型适应，种群繁殖、疾病传染、信息传播、新技术、新产品推广等等。

第四章 复习

1．若方程中出现f(xy),f(x?y),f(x?y),f?2222?y??等形式的项时，通常要做相应的x??变换u?xy,x?y,x?y,y,?。 xx2?y2x

例1 求解微分方程2yy??ex2?y2??2x

xux

解 令x?y?u，则2x?2yy??u?，原方程?2x?e?u22u?2x?u?，即xuu，而u?xv，u??v?xv?，代入上式，有u???ex，再令v?xxv?xv??v?ev?e?vdx?

习题课

1dx，从而?e?v?lnx?C??ex?x2?y2x?lnx?C

1． 试求以y?C1x?C2为通解的微分方程

在y?C1x?C2两边对x求导，得2yy??C1，再求导，得2yy???2(y?）?0或

222yy???(y?)2?0即为所求微分方程

13

2． 求微分方程y??1的通解 2(x?y)dydu?1?，代入原方程，得 dxdx解 令x?y?u，则y?x?u。

du1duu2?1u21??1??2，?2，分离变量，得2du?dx，即?1?2?du?dx

dxudxuu?1u?1??积分，得u?x?y?11u?1?Ce2y ln?x?C1，将u?x?y代回，即得通解

x?y?12u?1y1y23． 求微分方程y???tan的通解

2x2yxy2y2y2?tan，方程右端是以解 将方程变形为2yy??为中间变量的函数。令

xxxy2u，u，?u,y2?xu，求导得2yy??xu??u，代入方程，得xu??u?u?tan即xu??tanxdudxy2?分离变量，得，积分，得ln|sinu|?ln|x|?C1或sinu?Cx，以u?代回，tanuxxy2?Cx 得原方程通解为sinx4． 设y(x)是一个连续函数，且满足y(x)?cos2x??x0y(t)sintdt，求y(x)。

解 这种方程称为积分方程，通常将它化为微分方程的初值问题。为此，再在等式两端对自变量x求导，有y?(x)??2sin2x?y(x)sinx，在确定初值条件y(0)?1，于是得

?y??ysinx??2sin2x到微分方程的初值问题。?

y(0)?1?y?e??p(x)dx?Q(x)e??p(x)dxdx?C??e?sinxdx??2sin2xe??sinxdxdx?C??????? ?????e?coxs??2sin2xecoxsdx?C?e?coxs4?cosxd(ecoxs)?C

?e?coxs??4[coxes???

coxs?e?coxs4[coxescoxs?ecoxs]?C?Ce?coxs?4cosx?4???ecoxsd(coxs)?C??1?cosx又y(0)?1，得C?e，从而y?e?4cosx?4

14

5． 设曲线L上任一点P(x,y)满足OP?OR（如图），其中PR为L在点P处的切线， 又知L过点（1，2），求曲线L的方程。 解 一般用微分方程解决应用问题分三个主要步骤。

（1）建立方程 根据题意，过P(x,y)的切线方程为

Y?y?y?(X?x)，故点R的坐标为(0,y?xy?)，由此得直xy??yy，直线OP的斜率kOP??，xxxy??yy???1，由于OP?OR，所以kOP?kRQ??1，即

xx线RQ得斜率为kRQ?得xyy??y2?x2?0。

?xyy??y2?x2?0（2） 确定初值问题 因曲线L过点（1，2），得初值问题为?

?y|x?1?2（3） 解方程 根据初值条件，可以限定在x?0,y?0的范围内求解。 方程课变型为齐次方程y??

yx?，令y?xu，有y??xu??u，代入上式，得xy1dxxu???,udu??。方程得u2??2lnx?C。将y?xu代回，得y2?x2(C?2lnx)，

uxy?xC?2lnx ，以初值条件y|x?1?2代入，得C?4，因此曲线L的方程为

y?x4?2lnx(0?x?e2)。

6． 求微分方程y????(y??)的通解。

解 令y???v(x)，方程化为v??v，分离变量并分，v(x)??221，再积分两次，x?C1得y??v(x)dx??ln|x?C1|?C2，y?C3?C2x?x?(x?C1)ln|x?C1|或

??x?C3?(x?C1)ln|x?C1|。 y?C27． 求3y???2y??0的通解

?x2解 特征方程为3r?2r?0，特征根为r1?0,r2??，故方程通解为y?C1?C2e3

3228． 设f(x)为连续函数，且满足方程f(x)?e2x??(x?t)f(t)dt，求f(x)。

0x 15

解 将上式两边对x求导，得f?(x)?2e2x??x0f(t)dt，再对上式求导，得

f??(x)?4e2x?f(x)，即f??(x)?f(x)?4e2x。有已知即上式可知

f(0)?1,f?(0)?2。

?y???y?4e2x,因此所求函数y?f(x)满足下列初值问题?，易得其通解为

?y|?1,y|?2x?0?x?0412Y?C1cosx?C2sinx?e2x根据初值条件，得C1?,C2?。从而所求的函数为

555124f(x)?cosx?sinx?e2x。

5559． 光滑曲线l过原点和点（2，3），如图所示，任取l上一点P(x, y)，过点P作两坐标

轴的平行线PA、PB，PA与x轴和曲线l所围成图形的面积等于PB与y轴和曲线l所围成图形的面积的2倍，求曲线l的方程。

解 OAPO的面积为

?x0y(x)dx，根据题意课找到含有y(x)的积分的关系式，从而可

x0建立微分方程。

（1）列方程 设所求曲线l的方程为y?y(x)。由题设条件知

?y(x)dx?2xy(x)，3这是一个积分方程，两边对x求导，得3y?2(xy??y)，即2xy??y?0。

（2）初值问题 由题设曲线过点（2，3），可得初值条件y|x?2?3，即初值问题为

?2xy??y?0 ?y|?3?x?2

2（3）解方程 由分离变量法，解得y?Cx。代入初值条件y|x?2?3，得C?29，故2所求曲线l的方程为y?

9x。 2 16

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