初一相交线与平行线所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（(5)

【分析】（1）根据入射角与反射角相等，可得∠1=∠5，∠7=∠6，根据邻补角的定义可得∠4=104°，根据m∥n，所以∠2=76°，∠5=38°，根据三角形内角和为180°，即可求出答案；

（2）结合题（1）可得∠3的度数都是90°；

（3）证明m∥n，由∠3=90°，证得∠2与∠4互补即可． 【解答】解：（1）∵入射角与反射角相等，即∠1=∠5，∠7=∠6， 又∵∠1=38°， ∴∠5=38°，

∴∠4=180°﹣∠1﹣∠5=104°， ∵m∥n，

∴∠2=180°﹣∠4=76°，

∴∠6=（180°﹣76°）÷2=52°， ∴∠3=180°﹣∠6﹣∠5=90°；

（2）由（1）可得当∠1=55°和∠1=40°时， ∠3的度数都是90°；

（3）∵∠3=90°， ∴∠6+∠5=90°，

又由题意知∠1=∠5，∠7=∠6，

∴∠2+∠4=180°﹣（∠7+∠6）+180°﹣（∠1+∠5）， =360°﹣2∠5﹣2∠6， =360°﹣2（∠5+∠6）， =180°．

由同旁内角互补，两直线平行， 可知：m∥n．

故答案为：76°，90°90°，90°90°． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，本题是数学知识与物理知识的有机结合，充分体现了各学科之间的渗透性． 38．（2017春?河北期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；

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（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系． 【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2， 由两直线平行，内错角相等，可得： ∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPE+∠QPF， ∴∠3=∠1+∠2．

（2）关系：∠3=∠2﹣∠1； 过P作直线PQ∥l1∥l2，

则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPF﹣∠QPE， ∴∠3=∠2﹣∠1．

（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2． 过P作PQ∥l1∥l2；

同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP； ∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°， ∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°， 即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．

【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键． 39．（2016春?广水市期末）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF （1）求∠EOB的度数；

（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找

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出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=∠AOC，计算即可得解；

（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC=2∠OBC，从而得解；

（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE=∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵CB∥OA，

∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°， ∵OE平分∠COF， ∴∠COE=∠EOF， ∵∠FOB=∠AOB，

∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°；

（2）∵CB∥OA， ∴∠AOB=∠OBC， ∵∠FOB=∠AOB， ∴∠FOB=∠OBC，

∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC， ∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；

（3）在△COE和△AOB中， ∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB， ∴∠COE=∠AOB，

∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线， ∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，

∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，

故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 40．（2017春?鄂州期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠

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1与∠2互补．

（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；

（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH； （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°． 【解答】解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补， ∴∠1+∠2=180°．

又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE， ∴∠AEF+∠CFE=180°， ∴AB∥CD；

（2）如图2，由（1）知，AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD=180°．

又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P， ∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°， ∴∠EPF=90°，即EG⊥PF． ∵GH⊥EG， ∴PF∥GH；

（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下： 如图3，∵∠1=∠2， ∴∠3=2∠2．

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又∵GH⊥EG，

∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2． ∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2． ∵PQ平分∠EPK，

∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2．

∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°，

∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．

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