计算方法试题集及答案（新）(6)

h2h3h3?h(1??)y?(xn)?(1??)y??(xn)?(??)y???(xn)?O(h4)222!3!4 ????1???0???3?22???????1 因此有?1???0??5h3y???(xn)局部截断误差主项为12，该方法是2阶的。

12、(10

?dy??8?3y(x?0)?dx?分)取步长h?0.2，求解初值问题?y(0)?2，用欧拉预报—校正法求

y(0.2)的近似值。

解：（1）欧拉预报-校正法：

(0)?yn?1?yn?0.2(8?3yn)?1.6?0.4yn??yn?1?yn?0.1(8?3yn?8?3(1.6?0.4yn))?1.12?0.58yn

y(0.2)?y1?2.28

13、(8分)已知常微分方程的初值问题：

?dydx?xy,1?x?1.2?y(1)?2 ?

.)的近似值，取步长h?0.2。 用改进的Euler方法计算y(12k1?f?x0,y0??0.5，k2?f?x1,y0?hk1??1.1?2?0.2?0.5??0.5238095 y1?y0?h?k1?k2??2?0.1??0.5?0.5238095??2.10714292

第六章 方程求根 一、填空题

321、已知方程x?x?0.8?0在x0?1.5附近有一个根，构造如下两个迭代公式：

2(1)xk?1?30.8?xk(2)xk?1?-0.8?x3k

则用迭代公式(1)求方程的根收敛_，用迭代公式(2)求方程的根_发散_。

xk?f?xk?2、设f?x?可微，求方程x?f?x?的根的牛顿迭代格式为 xk?1?xk? 。

1?f'?xk?2?x?x?ax??5?,要是迭代法xk?1???xk?局部收敛到x*?5，3、??26

则a的取值范围是?1?a?0 5（2）MAX??x??L?1。

'a?x?b4、迭代法的收敛条件是（1）

3xk?133x?x?135.写出立方根的牛顿迭代公式k?1 k3xk26．用二分法求解方程f(x)?x?x?1?0在[1，2]的近似根，准确到10，要达到此精度至少

-3

3迭代 9 次。

7、设f(x)可微,求方程x?f(x)的牛顿迭代格式是

xn?1?xn?xn?f(xn)1?f?(xn) ；

b?an?18、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为 2。

39． 用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为

0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

10、若用二分法求方程f?x??0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。

11、如果用二分法求方程x?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分10 次。

312、求方程 那么

1.5

的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ，

13、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有局部平方收敛 14、 迭代过程

（k=1,2,…）收敛的充要条件是

< 1

二、单项选择题： 1、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0的根是( B )。 (A) y=?(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=?(x)的交点

2、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

(A)f(x0)f??(x)?0(B)f(x0)f?(x)?0(C)f(x0)f??(x)?0(D)f(x0)f?(x)?0

3、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

27

x2?(A)

1,迭代公式:xk?1?x?11xk?1

x?1?(B)(C)

11,迭代公式:x?1?k?12x2xk

21/3x3?1?x2,迭代公式:xk?1?(1?xk)x?1?x,迭代公式:xk?1(D)

322xk?1?2xk?xk?1

4、计算3的Newton迭代格式为( B )

xkxxx3323?xk?1?k?xk?1?k?xk?1?k?2xk；(B)22xk；(C) 2xk；(D) 3xk。

(A)

1???10?33225、用二分法求方程x?4x?10?0在区间[1,2]内的实根，要求误差限为，则对

xk?1?分次数至少为( A )

(A)10； (B)12； (C)8； (D)9。

3x?2不收敛的是(

6、已知方程x?2x?5?0在x?2附近有根，下列迭代格式中在0C )

(A)； (B)三、问答题

1.什么是不动点？如何构造收敛的不动点迭代函数？ 答：将方程

改写为

若

使

xk?1?32xk?55xk?1?2?xk32xk?5x?k?132x?x?x?53x?2。k?1kkk； (C)； (D)

则称点为不动点而就是不

动点的迭代函数，迭代函数 （1）

'可以有很多，但必须使构造的满足条件

（2）MAX??x??L?1

a?x?b 若已知，且 时也收敛，称为局部收敛。

初始近似

，当

时为什么还不能断定迭代法

2.对于迭代法收敛？

答：迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判断，定理6.1是全局收敛性，需要在包含的区间

上证明

且

才能说明由出是迭代法

才可由

收敛

如果用局部收敛定理6.2，则要知道不动点为 证明其收敛性，由

还不能说明迭代法收敛。

3.怎样判断迭代法收敛的快慢？一个迭代公式要达到P阶收敛需要什么条件？

28

答：衡量迭代法快慢要看收敛阶P的大小，若序列收敛于，记为若存在

及，使则称序列

若而

为

为P阶收敛，P越大收敛越快，当P＝1，则越小，收敛越的不动点，P为大于1的整数，则此迭代公式为P阶收敛。

在

连续，且

快。一个迭代公式

4.方程敛？

答：用曲线

求根的Newton法是如何推出的？它在单根附近几阶收敛？在重根附近是几阶收

在点上的切线的零点近似曲线零点得到

就是Newton法，在单根附近2阶收敛，当为重根时是线性收敛。

5、简述二分法的优缺点

答：优点(a)计算简单，方法可靠；(b)对f (x) 要求不高(只要连续即可) ；(c)收敛性总能得到保证。缺点(a)无法求复根及偶重根 ; (b)收敛慢

6、画图说明牛顿迭代公式的几何意义。

f(xk)

xk?1?xk? f?(xk)y?f(x)?x,f(x)?牛顿迭代公式就是切线与 x 轴交点的横坐标， 所以牛顿法是用切线与 x 轴的交点的横坐标来近 似代替曲线与x 轴交点的横坐标。

xk?1xk四、计算题

y kko xx 1、用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.

。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]

解 使用二分法先要确定有根区间

为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。

其误差

2. 求方程

在

=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应

29

迭代公式.

(1) (2)

，迭代公式,迭代公式

. .

(3)，迭代公式.

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.

解：（1）取区间且，在且

，在中，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。

（2），在中，且，在中有

，故迭代收敛。

（3），在附近，故迭代法发散。

，

在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取则

3. 给定函数数,迭代法

解：由于迭代函数由递推有

，设对一切x,存在，而且

的根.

.证明对的任意常

均收敛于方程，，

为单调增函数，故方程

。令

的根是唯一的（假定方程有根，则

）。，

，即

30

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