计算方法试题集及答案（新）(3)

|R2(x)|?|e?x?P2(x)|?故截断误差

1|x(x?0.5)(x?1)|3!。

10、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。

解：

L2(x)?2?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?3??4?(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(2?1)(2?1)

?234(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)323 1f(1.5)?L2(1.5)??0.0416724

11、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton插值方法：差分表： 100 121 144 1 0 1 1 0.0476190 1 2 0.0434783 -0.0000941136 115?10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.7227555

3?f'''?x??x28

5R?f'''????115?100??115?121??115?144?3!5?13?1002?15?6?29?0.0016368

12、(10分)已知下列函数表： x 0 1 f(x) 2 3 1 3 9 27 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； (2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。 解：（1）

L3(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?0)(x?2)(x?3)(x?0)(x?1)(x?3)(x?0)(x?1)(x?2)???(0?1)(0?2)(0?3)(1?0)(1?2)(1?3)(2?0)(2?1)(2?3)(3?0)(3?1)(3?2)?

438x?2x2?x?133

11

0113229624（2）均差表：327 18 6 3

Nx)?1?2x?2x(x?1)?43(3x(x?1)(x?2)

f(1.5)?N3(1.5)?5

13、 已知y=f（x）的数据如下 x 0 2 3 f（x） 1 3 2 求二次插值多项式 及f（2.5）

解：

14、设

（1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式H（x）H（x）以升幂形式给出。

（2）写出余项 的表达式

解 （1）

（2）

第四章 数值积分

使满足12

一、填空题 1、求

?21x2dx，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算结果为

2.333 。

2． n次插值型求积公式至少具有 n 次代数精度，如果n为偶数，则有 n+1 次代数精度。

3． 梯形公式具有1次代数精度，Simpson公式有 3 次代数精度。

4.插值型求积公式5、 计算积分?0.51?Af?x???f?x?的求积系数之和 b-a 。

kkk?0anb,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛

卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

6、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求

xdx?15f(x)dx≈( 12 )。

7、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求f?(1)?( 2.5 )。

?8、若用复化梯形公式计算

个求积节点。

110exdx，要求误差不超过10，利用余项公式估计，至少用 477

?62f(x)dx?[f(?1)?8f(0)?f?(1)]??199、数值积分公式的代数精度为 2 。

10、已知f(1)?1.0,f(2)?1.2,f(3)?1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得

?13f(x)dx?_________答案：2.367，0.25

,用三点式求得f?(1)? 。

10、 数值微分中，已知等距节点的函数值 ， 则由三点的求导公式，有

11、

对于n+1个节点的插值求积公式

至少具有n次代数精度.

二、单项选择题：

1、等距二点求导公式f?(x1) ?( A )。

(A)

f(x1)?f(x0)x1?x0(B)f(x1)?f(x0)x0?x1(C)f(x0)?f(x1)x0?x1n(D)f(x1)?f(x0)x1?x0

2、在牛顿-柯特斯求积公式：

?baf(x)dx?(b?a)?Ci(n)f(xi)i?0(n)Ci中，当系数是负值时，公

13

式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ A ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（A）n?8， （B）n?7， （C）n?10， （D）n?6， 三、问答题

1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？ 答：一个求积公式如果当为任意m次多项式时，求积公式精确成立，而当为次数大于m次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m次代数精确度。根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。 四、计算题

1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度. (1)

解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。 令

代入公式两端并使其相等，得

解此方程组得，于是有

再令，得

故求积公式具有3次代数精确度。

（2）

14

（3） 解：令

代入公式精确成立，得

解得，

得求积公式

对

故求积公式具有2次代数精确度。

2.求积公式

?10f(x)d?x0A(0?f)1'A?(f10)B已f(知0)其余项表达式为，

R(f)?kf'''(?),??(0,1)，试确定系数A0,A1,B0，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出

代数精度的次数及求积公式余项。

15

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