习题、详解、答案1(5)

（2）

d1lnx? dxxdk?0 dx （3）

（4）

dkx?k dxxik；k是，本征值为0；函数lnx和 kx不是. eik是，本征值为

d21.26下列哪些函数是算符2的本征函数，本征值是多少？

dx （1）eikx; （2）㏑x; （3）coskx; （4）e?kx

d2ikxd解：（1）2e?ikeikx??k2eikx

dxdxd2d11??2 （2）2lnx?dxdxxxd2d （3）2coskx?(?ksinkx)??k2coskx

dxdx2d2?kx2d?(?2kxe?kx) （4）2edxdx2 ?4k2x2e?kx?2ke?kx

所以，e是，本征值为-k; ㏑x不是；coskx是，本征值为-k；e1.27 归一化的波函数和未归一化的波函数的物理意义有何区别？

答：归一化的波函数表示粒子出现在整个空间的几率等于1；未归一化的波函数

表示粒子出现在整个空间的几率等于一个常数。

1.28某一体系，其状态函数?要用三个量子数J, K, M标记，?J,K,M，三个量子数之间的关系是

ikx222?kx2不是.

21

J?0,1,2,?M?0,?1,?2,??J K?0,?1,?2,?能级是

E?BJ(J?1)?(A?B)K2

式中A, B是常数，讨论其简并度。

解：这要讨论同一J，同一K2有多少状态，即有多少个（J, M, K）之集合。对于同一J，M有2J＋1个取值，对于同一K2，当K2＝0，K有一个取值，当K2?0，K有两个取值，所以

??2J?1 当K=0 简并度???2(2J?1) 当K?01.29如果函数?i是正交归一化的，则其线性组合???ci?i归一化的充要条件

i是?ci*ci?1.

i证明： (1) 必要条件：

由于函数?i是正交归一化的，

所以，?*i?jd????(i?j)?1

(i?j)?0 ???ci?i?c1?1?c2?2??

i**??d??(c?)??ci?id? ii??ii??(c1?1?c2?2??)*(c1?1?c2?2??)d? ??(c1?1?c2?2??)*(c1?1?c2?2??)d?

**?c1c1?c2c2????ci*ci

i 22

要使?归一化，使

?cci*ii?1即可

所以

?cci*ii?1是?归一化的必要条件。

(2) 充分条件：

如果?ci*ci?1，则必有??*?d??1

i即

?cci*ii?1是?归一化的充分条件。

1x1.30一质量为m的自由粒子，在区间[a,b]（a≠0, b≠0）内运动，处于波函数??所描述的状态，将?归一化，并求坐标x的平均值。

1解：?()2dx?1

axb

b1121b11b?a()dx?dx??()???? a?ax?ax2xbaabb 归一化常数K?ab b?aab1? b?axabb11?x?dx ?ab?axx 归一化波函数?? x???x?dx?ab ?abb1abb dx?lnx???aab?axb?aabbln b?aa1x ?1.31 一质量为m的自由粒子，在区间[a,b]（a≠0, b≠0）内运动，求其处于状态??时能量的平均值。

23

22?d???解： H 2mdxE??dx???H?????dxab2abba1?2d21?dx2x2mdxx b1?ax2dx?2?b22m ?dx b?a?ax?4ab?ab?21bab?211 ?[?3]a?(?3?3)

m(b?a)3x2m(b?a)3b3a?abb3?a3 ?(33)

m(b?a)3aba2?ab?b22? ??3a2b2m1.32求处于下列波函数所描述的状态的自由粒子的动量平均值。运动区间为

(??,??).

(1) e (2) coskx (3) e?x??i?解：(1) p?ikx??x2

? ?x?ikx)edx ?xpx??e?ikx(?i??? ??e?ikx(?i?)eikxikdx

??? ?k?? ?k?

????ikxikxeed x （注：eikx为自由粒子波函数，其本征值为连续谱，归一化为狄拉克?函数）

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(2) px??coskx(?i?????)coskxdx ?x ?i??coskxsinkxdx

??? =0 (3) px??e?????x2???x2(?i?)edx

?x2??e??xi?e??x(?2?x)dx

???2=0

1.33设有一个质量为m的自由粒子（势能V=0），给出下列3种情况的薛定谔方程，并指出描述其状态的波函数各是哪些变量的函数。

(1) 在三维空间中运动；

(2) 被束缚在半径为a的球面上运动（球面上势能为零，球内外势能为无穷大）；

(3) 被束缚在半径为a的圆周上运动（圆周上势能为零，圆周内外势能为无穷大）。

?22???E? 解： （1）?2m???(x,y,z)

1?2?1??1?2??2(r)?2(sin?)?22?

r?r??rsin?????rsin???2 （2）???(?,?)， r?a为常数

??21??1?2? ??((sin?)?2)??E? 22???sin?????2masin??? （3） ???(?,?)， r?a，???2为一常数，sin??sin?2?1

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