习题、详解、答案1

第一章 量子力学基础

习 题

1.1. 给出黑体辐射频率分布函数R(?,T)的单位。

1.2. 分别计算红光?=600 nm和X射线?=100 pm的1个光子的能量、动量和质

量。

1.3. 计算波长?=400nm的光照射到金属铯上所产生的光电子的初速度。已知铯

的临阈波长为600nm。

1.4. 氢原子光谱中巴尔麦系中波长最长的一条谱线的波数、波长和频率各是多

少？波长最短的一条呢？

1.5. 求氢原子光谱中赖曼系第3条谱线的波数、波长和频率。

1.6. 氢原子光谱中赖曼系、巴尔麦系和帕邢系的谱线能否互相穿插，为什么？ 1.7. 在氢原子光谱的各线系中，相邻两谱线间的距离是等间隔、还是朝着短波

的方向递减或递增？

1.8. 求波长为0.1 nm的电子和中子的动量和动能。 1.9. 求下列粒子的德布罗意波长：

(1) 能量为100 eV的自由电子; (2) 能量为0.1 eV的自由中子; (3) 能量为0.1 eV，质量为1g的粒子。

1.10. 用速度? ?1?109cm?s?1的电子进行衍射试验，若所用晶体粉末的面间距离

为242 pm，晶体粉末离底板距离为2.5 cm，求第2条和第3条衍射环纹的半径。

1.11. 一个运动速度为v的自由粒子，有人作了如下推导：

1

m?apbhch?dEe???1m?2

1得出1=的错误结论，试问其推导过程中哪些过程是错误的。

21.12. 测不准关系限制我们同时测定粒子的动量和坐标，但为什么经典的物体不

受限制呢？计算一个在一球拍上10-6 m范围内的质量为500 g的球的速度的最小不确定程度是多少？一个质量为5 g，速度在35.00001至35.00000 ms-1的物体，其位置的不确定程度是多少？由此可知为什么经典物理不受测不准原理的限制。

m?s?1运动，其质量增加多1.13. 一个静止质量为1000g的物体，以速度??3000少克？若速度为3?105 ms-1，3?107 ms-1，1?108 ms-1，1.5?108 ms-1其质量分别增加多少克？

1.14. 1000 kg水由0℃升到100℃，其质量有何变化？是否需要考虑其质量的变

化？

?是线性算符，则aF?和F?也是线性算符。式中a，b?和G?+bG?G1.15. 证明如果F为常数。

??G?F?是厄米算符，则F?和F?G?也是厄米算符。 ?和G?+G1.16. 证明若F??，[A?,B?=AB?]=1，证明若?是算符F?属于本征值?的本征函数，则1.17. 已知F?属于本征值?-1的本征函数，B?属于本征值?+1??是算符F??是算符FA的本征函数。

?的本征函数，则a?（a为常数）是算符A?属于同一本1.18. 若?是线性算符A征值的本征函数。

1.19. 证明线性算符属于同一本征值的本征函数的任意线性组合仍然是属于这

一本征值的本征函数。

1212d21.20. 函数exp(?x)和xexp(?x)是否算符(?2?x2)的本征函数？若是，

22dx 2

其本征值是多少？ 1.21. 求下列对易关系

?x] ；(4) [x, p?x,p?y] ；(3) [x, p?y] (1) [x, y]； (2) [p?2cos??)的本征函数，并求其本征值。 1.22. 证明3cos??1是算符 ??(2???sin???22?2cos??)的本征函数，并求其本征1.23. 证明5cos??3cos?是算符??(2???sin???32值。

1.24. 函数sinxcoskx，cos2x 和sin2x?cos2x中哪些是

d2是多少？哪些是2的本征函数，本征值是多少？

dxd的本征函数，本征值dx1.25. 下列哪些函数是算符

d的本征函数，本征值是多少？ dx （1）eikx； （2）lnx；（3）k； （4）kx

d21.26. 下列哪些函数是算符2的本征函数，本征值是多少？

dx （1）eikx; （2）㏑x; （3）coskx; （4）e?kx

1.27. 归一化的波函数和未归一化的波函数的物理意义有何区别？

1.28. 某一体系，其状态函数?要用三个量子数J, K, M标记，?J,K,M，三个量子

数之间的关系是

2J?0,1,2,?M?0,?1,?2,??J K?0,?1,?2,?能级是

E?BJ(J?1)?(A?B)K2

3

式中A, B是常数，讨论其简并度。

1.29. 如果函数?i是正交归一化的，则其线性组合???ci?i归一化的充要条件

i是?ci*ci?1。

i1.30. 一质量为m的自由粒子，在区间[a,b]（a≠0, b≠0）内运动，处于波函数??所描述的状态，将?归一化，并求坐标x的平均值。

1x1.31. 一质量为m的自由粒子，在区间[a,b]（a≠0, b≠0）内运动，求其处于状态??时能量的平均值。

1x1.32. 求处于下列波函数所描述的状态的自由粒子的动量平均值。运动区间为

(??,??)。

(1) eikx (2) coskx (3) e??x

1.33. 设有一个质量为m的自由粒子（势能V=0），给出下列3种情况的薛定谔

方程，并指出描述其状态的波函数各是哪些变量的函数。 (1) 在三维空间中运动；

(2) 被束缚在半径为a的球面上运动（球面上势能为零，球内外势能为无穷

大）；

(3) 被束缚在半径为a的圆周上运动（圆周上势能为零，圆周内外势能为无

穷大）。

1.34. 写出平面刚性转子，即被束缚在一圆周上的粒子的薛定谔方程，并求其解。 1.35. 求被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子处于状态?(?)?cos?时角度?的

平均值。（状态?(?)?cos?未归一化） 1.36. 将一维箱中粒子的波函数归一化时，得B2?22，取B?? 可不可以，为aa2 4

何只取B?22，而不取B??？ aa12mEa?0，得?1.37. 在讨论一维箱中粒子的边界条件时，由Bsin12mEa?n?满足上式的n可取0，?1，?2，……,为何只取正值而不取?负值和零？ 1.38. 处于状态为?1(x)?a2?x的一维箱中的粒子，出现在x?处的几率是sin2aa?12()?(a22?a2sin.)2?，这种说法对吗？ aa2a1.39. 求处于基态的一维箱中的粒子出现在0.25a?x?0.75a内的几率。a是一维

箱的长。

1.40. 一质量为m的粒子，在长为a的一维箱中运动，若将箱长平均分为3段，

求该粒子处于第一激发态时出现在各段的几率。

1.41. 一电子在长为0.6 nm的一维箱中运动，由能级n=5跃迁到n=4所发出的光

子的波长是多少？

1.42. 一维箱中的电子的最低跃迁频率为2.0?1014s?1，求箱长。 1.43. 求处于状态?(x)?值，求其平均值。 1.44. 函数?(x)?24?x2?xsincos的一维箱中的粒子的能量。若无确定

aaa2?x22?x是否一维箱中粒子的一个可能状态？sin?3sinaaaa如果是，其能量有没有确定值？如果有，其值是多少？如果没有，其平均值是多少？

1.45. 验证一维箱中粒子的波函数?1和?2正交。

1.46. 一粒子在长为a的一维箱中运动，若将a分为相等的4段。粒子出现在各

段的几率依次记为p1，p2，p3，p4，试比较当粒子处于?3时，出现在各

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