习题、详解、答案1(4)

??G?F?G?)u]*vd? ??[(F??G?F?G?是厄米算符。 所以，F??，?,B?=AB?]=1，?属于本征值?的本征函数，??1.17. 已知F[A证明?是算符F则A?属于本征值?-1的本征函数，B?属于本征值?+1的本??是算符F是算符F征函数。

?B? ?B??1，A??1?B?A??B?A?,B?]?1, 即A证明：[A?B?????，即A????? F??)?A?B??)?A?(B?)??A?(A?B?(A?(A?A??1)? F?(A?B?(????)?A?(??)?A??) ????)?A?A???A???(??1)A?? ??A?属于本征值?-1的本征函数。 ??是算符F 即A?B??1)(B?B?(B??)?A?(B??)?(B?A??)?B?A???B?? F????B????B???B?? ?B??) ?(??1)(B?属于本征值?+1的本征函数。 ??是算符F即B?的本征函数，则a?（a为常数）是算符A?属于同一本征1.18. 若?是线性算符A值的本征函数。

?属于本征值为?的本征函数，即 证明：若?是线性算符A????? A由于a为一常数

?(a?)?aA???a????(a?) 则有：A?属于同一本征值的本征函数。 即a?也是算符A

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1.19. 证明线性算符属于同一本征值的本征函数的任意线性组合仍然是属于这一

本征值的本征函数。

?属于同一本证值?的本征函数，即： 证明：设?A、?B为线性算符A?????，A????? AAABB 设c1、c2为任意常数

?(c??c?)?cA??A?A?c2?B) 1A2B1?A?c2A?B?c1??A?c2??B??(c1即：线性算符属于同一本征值的本征函数的任意线性组合仍然是属于

这一本征值的本征函数。

1212d21.20. 函数exp(?x)和xexp(?x)是否算符(?2?x2)的本征函数？若是，

22dx其本征值是多少？

d21d11证明：(?2?x2)exp(?x2)??[?xexp(?x2)]?x2exp(?x2)

2dx22dx =exp(?1211x)?x[?xexp(?x2)]?x2exp(?x2) 2221?exp(?x2)

212d2即：函数exp(?x)是算符(?2?x2)的本征函数，其本征值为1.

2dxd212d2112(?2?x)[xexp(?x)]??2[xexp(?x2)]?x3exp(?x2)

222dxdx??d111[exp(?x2)?x2exp(?x2)]?x3exp(?x2) dx2221111?xexp(?x2)?2xexp(?x2)?x3exp(?x2)?x3exp(?x2)

22221?3xexp(?x2)

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12d2即：函数xexp(?x)是算符(?2?x2)的本征函数，其本征值为3.

2dx1.21求下列对易关系

?x] ；(4) [x, p?x,p?y] ；(3) [x, p?y] (1) [x, y]； (2) [p解：(1) [x,y]u?(xy?yx)u?xyu?yxu?0

所以：[x,y]?0

?x,p?y]u?(p?xp?y?p?yp?x)u (2) [p????????(?i?)(?i?)?(?i?)(?i?)?u

?x?y?y?x??2?2?2?2????????u?0

?x?y?y?x???x,p?y]?0 即：[p?x]u?(xp?x?p?xx)u?[x(?i? （3）[x,p??u?i?(xu) ?x?x??u?i?u?i?xu ?x?x??)?(?i?x)]u ?x?x??i?x??i?x?i?u

?x]?i? 即：[x,p?y]u?(xp?y?p?yx)u?[x(?i?（4）[x,p??)?(?i?x)]u ?y?y??i?x?0

????u?i?(xu)??i?xu?i?xu ?y?y?y?y?y]?0 即：[x,p

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?2cos??1.22证明3cos??1是算符??(2?)的本征函数，并求其本征值。

??sin???22?2cos??证明：??(2?)(3cos2??1)

??sin???2?222cos?????(3cos??1)??(3cos2??1) 2sin?????2 ???2???(?6cos?sin?)??2cos?(?6cos?sin?) sin????2(6sin2??6cos2?)??2(6cos2?)

??6?2sin2??12?2cos2?

??6?2(1?cos2?)?12?2cos2?

??6?2?18?2cos2?

?6?2(3cos2??1)

?2cos??)的本征函数，所以，函数3cos??1是算符??(2?其本征值为6?2.

??sin???22?2cos??)的本征函数，1.23证明5cos??3cos?是算符??(2?并求其本征值。

??sin???32?2cos??)(5cos3??3cos?) 证明：??(2???sin???2?232cos?????(5cos??3cos?)??(5cos3??3cos?) 2sin?????2???2?cos?[15cos2?sin??3sin?)??2(?15cos2?sin??3sin?) ??sin????2[30cos?sin2??15cos3??3cos?)??2(15cos3?)??23cos?)

s ??30?2cos?sin2??15?2cos3??3?2cos??15?2co3s??3?2co???30?2cos??30?cos3??15?2cos3??6?2cos??15?2cos3?

?60?2cos3??36?2cos?

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2?12?（5cos3??3cos?）

?2cos??)的本征函数，其本征值所以，函数5cos??3cos?是算符??(2???sin???32为12?2.

1.24函数sinxcoskx，cos2x 和sin2x?cos2x中哪些是

d2多少？哪些是2的本征函数，本征值是多少？

dxd的本征函数，本征值是dx解：

dsinxcoskx?cosxcoskx?sinxsinkx dxd2xcoksx?? 2sindxsixnck?oxsk2cxos ksxinsixnc okxsn?x ?kcosxsikk

dco2sx??2sixndxcx os

d222cosx??2cosx?2sinx 2dxd(sin2x?cos2x)?2sinxcosx?2sinxcosx?4sinxcosx dx

d22222(sinx?cosx)??4(sinx?cosx) 2dxd2 所以，只有sinx?cosx是2的本征函数，本征值是-4.

dx221.25下列哪些函数是算符

d的本征函数，本征值是多少？ dx （1）eikx； （2）lnx；（3）k； （4）kx 解： （1）

dikxe?ikeikx dx 20

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