lilunlixue - 图文(3)

1、两个力的合成

用平行四边形法则即可

???FR?F1?F2

2、多个力的合成

以四个力的情况为例：

力多边形合成：合力为力多边形的封闭边。

????? FR?F1?F2?F3?F4作用线通过汇交点A。

3、n个力的合成 ????设平面汇交力系由n个力 组成,为 F 1 , F 2 , F 3, ? , F n 。

根据平行四边形法则，将各力依次两两合成（或由力多边形法则合成），可将汇交力系

?合成为一个合力（记为 FR ）。汇交力系合力的矢量表达式为

通过汇交点。

■利用力多边形法则注意问题：

?FR?n?i?1?Fi结论：汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线

?▼ 合力矢 FR 与各分力矢的作图顺序无关。

▼ 各分力矢必须首尾相接。

▼合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。

▼按力的比例尺准确地画各力的大小和方向。 ■力多边形合成的结论

平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，大小和方向由力多边形的封闭边表示。

二、平衡

?受平面汇交力系作用的刚体，平衡→ ?F?0平衡的几何条件：力多边形自行封闭：

几何法的优点：直观； 缺点：求解需作图，精度不高。

§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法

一、力在正交坐标轴上的投影

?X?Fcos? ?Y?Fcos??Fsin??▼力在坐标轴上的投影是标量； ▼注意投影的正负号。

▼已知投影求力的大小和方向： F?X2?Y2cos??XFcos??Y F二、力的解析表达式

??设沿坐标轴方向的单位矢量为i,j。则力沿坐

标轴方向的分力：

????Fx?Xi? ????Fy?Yj?????F?Fx?Fy?Xi?Yj

即为力的解析表达式。

当坐标轴非正交时，大小也不相等。如下右图示。

三、合力投影定理

定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。 ? ? ? ? FR?F1?F2???Fn

Fx?X1?X2???Xn??X R

F R y ? ? Y 2 ? ? ? Y n Y Y ? ?1

四、合成

由合力投影定理，合力的投影为： R x R y 22F?FRx?FRy,合力的大小和方向为：

F??X,F??Y,tan??FRyFRx五、平衡

受平面汇交力系作用的刚体，平衡： F?0R

FR?FRx?FRy22???X?0????Y?0 ??X?0??受平面汇交力系作用的刚体，平衡：

??Y?0

平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可解两个未知量。

用平衡方程解题的一般步骤：

1、确定研究对象，画出研究对象的受力图；

??FRx?0???FRy?02、建立坐标系； 3、列出平衡方程； 4、解出未知量。

例1：图示结构，已知P=10 kN，AC = CB，AB与CD夹角如图，各杆自重不计。 求：A处反力和CD杆受力。

解：取AB为研究对象。 受力如图。

建立坐标如图。 列平衡方程：

cos??sin??215?X?0FAcos??FCcos45??0?P?0, ?Y?0

解得：

FAsin??FCsin45?5FA??5P??22.3(kN),FC?22P?28.28(kN)说明：FA的负号表示它的实际方向与图示的假设方向相反。

解题要求:(1)对象；（2）受力图（注意二力构件，三力平衡汇交）；(3)坐标；（4）平衡方程；（5）求解 。 例2：图示A、B两轮的自重比为FGA/FGB =3，AB杆自重不计，摩擦不计。求：平衡时的 ? 角。 解：1、取A轮为对象， 受力如图。

取坐标系如图。

2、取B轮为对象，受力如图。 取图示坐标系。

又AB杆为二力杆： F 1 ? F 2 ( 3 )由式(1),(2),(3)可解出：

F

tan??3GB?3 FGA3?FGAsin30??F1cos??0?X(1)0?X?0F2sin??FGBsin60??0(2)??30?

§2 - 3 平面力对点之矩的概念和计算

一、力对点的矩

力矩：是力使物体绕一点转动作用的度量。

?定义： M(F)??Fh

o

o ? 力矩中心，简称矩心；h ? 力臂；

▼正负号规定：逆时针为正；顺时针为负； ▼平面内力对点的矩是标量； ▼力矩的单位：N · m ，或 kN · m 。 ●力矩的几何表示：

Mo ( F ) = ±2 ?OAB面积

● 力矩的矢量表示：

????M0(F)?r?Fsin? Fh大小： Fr ? 方向：满足右手法则

二、力矩的基本性质

1、力沿作用线移动时，力矩保持不变。

?2、

F?0Mo(F)?0h?0

三、合力矩定理

定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩，等于所有分力对该点的矩的代数和。

????F?F?F???F?即：R12n?

???? MO(FR)?M0(F1)?MO(F2)???M0(Fn)???MO(F)

??例3 ：已知 F , 与 x 轴夹角为?，作用点 A( x, y ).。求：MO(F) 。

解：直接根据定义计算时，力臂的计算较麻烦。

力沿坐标轴方向的投影为：

?X?Fcos? ?Y?Fsin??利用合力矩定理求解。

???M0(F)?MO(Fx)?Mo(Fy)?xY?yX ?力矩的解析公式

例4：作用在梁AB分布载荷如图示，载荷集度q, 梁长l 。求：分布力的合力的大小

及合力作线位置。

解：分布力的载荷集度

q ?? 单位长度上的力，单位为： N/m , 或 kN/m 。

设合力为P，作用线距A点为 h 。 （1）求合力的大小：

建立x坐标如图。取x处微段dx , 设x处的载荷集度为q(x)。

q(x)q?xl?q(x)?qlqlx

dP?q(x)dx?lxdx

P??xdx?0xl12ql

（2） 求合力作用线位置

用合力矩定理求合力作用线位置：

ll?Ph???xdP???00ql2xdx h?23l

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