H03南京市2018届高三数学考前综合题~(3)

35

解得a＞．

18

15、解：（1）因为f'(x)＝cosx－sinx，

所以F(x)＝f(x)f'(x)＋3f 2(x)＝cos2x－sin2x＋3＋23sinxcosx

π

＝3＋3sin2x＋cos2x＝3＋2sin(2x＋)．

6πππ

所以当2x＋＝＋2kπ，即x＝＋kπ(k∈Z)时，F(x)max＝3＋2．

6262π

函数F(x)的最小正周期为T＝＝π．

2

1

（2）因为f(x)＝2f'(x)，所以sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，即cosx＝3sinx，故tanx＝．

3

cos2x－sin2xπ222sinxcosx

于是sin(2x＋)＝(sin2x＋cos2x)＝(2＋) 422sinx＋cos2xsin2x＋cos2x

2

1－tan2x22tanx22tanx＋1－tanx

＝(＋)＝· 21＋tan2x1＋tan2x21＋tan2x

112×＋1－()2

32372

＝·＝． 21210

1＋()

3

→→→→16、解：（1）因为(2a＋c)BC·BA＋cCA·CB＝0，

所以(2a＋c)accosB＋cabcosC＝0，即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0． 由正弦定理得(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0， 即2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0，亦即2sinAcosB＋sinA＝0，

1

因为sinA≠0，故cosB＝－．

22π

因为B∈(0，π)，所以B＝．

3

2π

（2）由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos，即12＝a2＋c2＋ac．

3

因为12＝a2＋c2＋ac≥3ac，所以ac≤4，

2π1→→所以AB·CB＝accos＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时取等号，

32

→→所以AB·CB的最小值为－2．

【说明】本题考查三角恒等变换、向量数量积、正余弦定理．其中第二问要能利用基本不等式求最小值，也可以利用正弦定理建立函数，但过程复杂．

17、（1）证明：因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD．

又平面PAD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以CD⊥平面PAD．

又AP?平面PAD，所以CD⊥AP．

因为底面ABCD为正方形，AB＝2，所以AD＝2．

因为AP＝1，PD＝3，所以AP2＋PD2＝AD2，因此AP⊥PD．

又CD⊥AP，PD∩CD＝D，PD，CD?平面PCD，所以PA⊥平面PCD．

（2）解：设点C到平面PBD的距离为h．

由（1）知CD⊥平面PAD，因为PD?平面PAD，所以CD⊥PD． 1113

V三棱锥B－PCD＝S△PCD·PA＝×(×2×3)×1＝．

3323

因为AB∥CD，所以PD⊥AB．

由（1）知AP⊥PD，又AP∩AB＝A，AP，AB?平面APB，所以PD⊥平面APB． 又PB?平面APB，所以PD⊥PB．

因为底面ABCD为正方形，且边长为2，所以BD＝22，又PD＝3，所以PB＝5．

11115于是V三棱锥C－PBD＝S△BPD·h＝×(×3×5)h＝h．

3326

25153

因为V三棱锥B－PCD＝V三棱锥C－PBD，所以h＝，解得h＝．

563

25

即点C到平面PBD的距离为．

5

18、解：（1）设运动员游泳速度为x千米/小时，

222

2×12tcos30°由题意可知(xt)＝2＋(12t)－2×，

42432

整理得x2＝2－＋144＝(－63)2＋36.

ttt12

由于0＜t≤，所以≥8，

4t

23

所以，当＝63即t＝时，x2取得最小值36，即x最小值为6.

t9答：运动员游泳速度的最小值为6千米/小时.

（2）由题意知[8(t－m)]2＝(16m)2＋(vt)2－2×16m ×vt cos30°，

mm

两边同除以t2得：192()2＋(128－163v)＋v2－64＝0

ttm

设＝k，0＜k＜1， t

则有192k2＋(128－163v)k＋v2－64＝0，其中k∈(0，1)，

即关于k的方程192k2＋(128－163v)k＋v2－64＝0在(0，1)上有解， 则必有△＝(128－163v)2－4×192×(v2－64)≥0， 163 解得0＜v≤，

3

1631163当v＝时，可得k＝∈(0，1)，因此v为最大值为.

333163

答：小船的最大速度为千米/小时.

3

1464π

19、解：（1）由题意知πr2h＋×πr3＝，

233

232

故h＝(2－r)，

3r由于h≥2r，

232

因此(2－r)≥2r，解得0＜r≤2，

3r

128π

所以建造费y＝2πr2c＋(2πrh＋πr2)×3＝π(2c－1)r2＋，定义域为(0，2].

r 64

2π(2c－1)(r3－)

2c－1

（2）由（1）得y′＝，

r2 当

649

≥8即3＜c≤时，y′≤0恒成立，

22c－1

128π

在(0，2]上单调递减，因此r＝2时，总建造费用y r

此时函数y＝π(2c－1)r2＋最小；

649

当＜8即c＞时，令y′＝0得r＝22c－1

3

3

64

∈(0，2)， 2c－1

当0＜r＜

64

时，y′＜0；当2c－1

3

64

＜r＜2时，y′＞0， 2c－1

3

128π

所以函数y＝π(2c－1)r＋在(0， r

264

)上单调递减，在(2c－1

3

64

，2)上2c－1

单调递增，

3

所以r＝64时，总建造费用y最小. 2c－1

9

综上所述，当3＜c≤时，总建造费用y最小时，r＝2m；

2

9

当c＞时，总建造费用y最小时，r＝2

3

64m. 2c－1

－

20、解：（1）设第n区火山灰平均每平方米的重量为bn千克，则bn＝1000(1－2%)n1＝1000×0.98n1．

－

设第n区的面积为cn平方米，

则当n≥2时，cn＝π502n2－π502(n－1)2＝2500π(2n－1)，

又c1＝2500π＝2500π(2×1－1)， 因此cn＝2500π(2n－1)，n∈N*．

所以第n区内火山灰的总重量为an＝bncn＝25×105π(2n－1)×0.98n1(千克)．

－

（2）an＋1－an＝25×105π(2n＋1)×0.98n－25×105π(2n－1)×0.98n

－1

＝25×105π[(2n＋1)×0.98－(2n－1)]×0.98n1

－

＝25×105π(－0.04n＋1.98)×0.98n1．

－

当1≤n≤49时，an＋1－an＞0，即an＜an＋1， 当n≥50时， an＋1－an＜0，即an＞an＋1， 所以，当n＝50时，an最大． 答：第50区火山灰的总重量最大．

【说明】关注数列应用题．

21、解：（1）由题设得圆O1的半径为4，所以圆O1的标准方程为(x－9)2＋y2＝16．

949

（2）x＝5，y＝－x＋．

408

（3）设直线l的方程为y＝kx＋m，则O，O1到直线l的距离分别为h＝

|9k＋m|

＝2， 1＋k

从而d＝2

(m)264－，d＝2

1＋k21

(9k＋m)216－．

1＋k2|m|

，h1

1＋k2m2

64－

1＋k2dd2

由＝2，得2＝＝4， d1(9k＋m)2d1

16－1＋k2整理得m2＝4(9k＋m)2，故m＝±2(9k＋m)， 即18k＋m＝0或6k＋m＝0，

所以直线l为y＝kx－18k或y＝kx－6k， 因此直线l过定点(18，0)或直线l过定点(6，0)．

【说明】本题考查直线与圆．求直线方程时，不要忘记斜率不存在的讨论． x22

22、解：（1）＋y＝1．

2

（2）①设AB的直线方程为y＝k(x－1)．

k(x－1)，??y＝2

联立?x消元y并整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 2

＋y＝1，??22k2－24k2

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

1＋2k21＋2k222＋22k2

于是AB＝1＋k|x1－x2|＝1＋k×(x1＋x2)－4x1x2＝，

1＋2k21

22＋22(－)2

2k42k2＋2

同理CD＝＝，

122k2＋1

1＋2(－)2k

22222＋22k242k2＋2

于是AB＋CD＝＋＝32．

1＋2k22k2＋1

－k2k21k

②由①知xM＝， 2，yM＝2，xN＝2，yN＝1＋2k1＋2k1＋2k1＋2k2－k2k21k

所以M()， 2，2)，N(2，1＋2k1＋2k1＋2k1＋2k21

所以MN的中点为T(，0)，

2

1|k|1112k12

于是SΔOMN＝OT·|yM－yN|＝|≤， 2|＝2×2＝2×241＋2k181＋2k

＋2|k||k|

122

当且仅当2|k|＝，即k＝±时取等号，所以△OMN面积的最大值为．

|k|28

【说明】本题考查直线与椭圆的相关知识．最后一问要能发现并利用直线MN过定点，

简化面积的运算，值得注意．

23、解：（1）当x＞1时，f(x)＝x3＋3x－3，f(2)＝11．由f'(x)＝3x2＋3，得f'(2)＝15．

所以y＝f(x)在x＝2处的切线方程为y＝15(x－2)＋11即15x－y－19＝0． （2）①当a≤－1时，得f(x)＝x3＋3x－3a，因为f'(x)＝3x2＋3＞0，

所以f(x)在[－1，1]单调递增，所以f(x)min＝f(－1)＝－4－3a． ②当a≥1时，得f(x)＝x3－3x＋3a，因为f'(x)＝3x2－3≤0， 所以f(x)在[－1，1]单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－2＋3a．

?x3＋3x－3a，a＜x＜1，

③当－1＜a＜1时，f(x)＝?3

?x－3x＋3a，－1＜x≤a，

由①②知：函数f(x)在(－1，a)单调递减，(a，1)单调递增，所以f(x)min＝f(a)

＝a3．

综上，当a≤－1，f(x)min＝－4－3a；

当－1＜a＜1时，f(x)min＝a3； 当a≥1时，f(x)min＝－2＋3a．

（3）当a＞0，且任意x≥1有f(x＋a)－f(1＋a)≥15a2lnx，

即对任意x≥1有(x＋a)3＋3x－15a2lnx－(a＋1)3－3≥0． 设g(x)＝(x＋a)3＋3x－15a2lnx－(a＋1)3－3，

15a22

则g(1)＝0，g'(x)＝3(x＋a)＋3－．

x15a2

设h(x)＝g'(x)＝3(x＋a)＋3－，

x

2

15a2

因为a＞0，x≥1，所以h'(x)＝6(x＋a)＋2＞0，所以h(x)在[1，＋∞)单调递

x

增，

所以h(x)≥h(1)，即g'(x)≥g'(1)＝3(1＋a)2＋3－15a2＝－(a－1)(2a＋1)， ① 当g'(1)≥0即0＜a≤1时，所以g'(x)≥0恒成立，

所以g(x)在[1，＋∞)单调递增，此时g(x)≥g(1)＝0，满足题意． ② 当g'(1)＜0即a＞1时，

因为g'(a)＝12a2－15a＋3＝3(a－1)(4a－1)＞0，且g'(x)在[1，＋∞)单调递增，

所以存在唯一的x0＞1，使得g'(x0)＝0，

因此当1＜x＜x0时g'(x)＜0；当x＞x0时g'(x)＞0； 所以g(x)在(1，x0)单调递减，(x0，＋∞)单调递增．

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