26．已知数列{an}的前n项和为Sn．
2Sm＋nam－an（1）若数列{an}为等差数列，求证：对任意m，n∈N*，且m≠n，都有＝am＋an＋；
m＋nm－n2Sm＋nam－an
（2）若数列{an}对任意m，n∈N*，且m≠n，都有＝am＋an＋，求证：数列m＋nm－n{an}为等差数列．
．
三．理科附加题
27．在即将施行的新高考方案中，某科目可以每半年参加一次考试，然后取若干次考试的最高分作为最终成绩．某同学打算参加三次该科目考试，已知第一次考试达到优秀(得分大
11
于或等于总分的80%)的概率为，第二次考试达到优秀的概率为，前两次考试相互独立，
32第三次考试受到前两次成绩的影响，如果前两次考试至少有一次达到优秀，则第三次考
21
试达到优秀的概率为，否则为．
32（1）求该同学没能达到优秀的概率；
（2）记该同学达到优秀的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及期望．
28．如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC,∠ABC＝90°, PA⊥平面ABCD，PA＝3,AB＝23,BC＝6．
（1）求异面直线PB与AC所成角的余弦值；
P 2π
（2）若二面角P－BD－C的大小为，求AD的长．
3
A B D
C
29．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝4，且对于任意n∈N*有an＋4＝an＋3＋an＋1＋an．
（1）求证：任意n∈N*，a2n＋1＝a2n＋a2n－1；
（2）求证：任意n∈N*，a2n a2n＋2为整数．
30．已知m∈N*，数列T：a1，a2，a3，…，a3m＋1满足如下条件： ①a1，a2，a3，…，a3m＋1是1，2，3，…，3m＋1的一个全排列；
②数列a1，a2，a3，…，a3m＋1的前n(1≤n≤3m＋1，n∈N*)项和Sn均不能被3整除． （1）当m＝1时，写出所有符合条件的数列T； （2）求满足条件的数列T的个数f (m)．
参考答案 1：【答案】④．
2π2：【答案】．【提示】因为f(x)＝3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)恒成
3立，即3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)＝3sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ)
展开并整理得(3cosθ＋sinθ)sinx＝0恒成立．
所以3cosθ＋sinθ＝0，即tanθ＝－3，
2π
又θ∈[0，π]，所以θ＝．
3
x2y2b
3：【答案】2．【提示】由双曲线：2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程y＝±x，
aba
b
可得两条切线的斜率分别为±，
a
则两条切线关于y轴对称，则过抛物线C1：x2＝4y焦点(0，1)的直线l为y＝1， 可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1，
→1→2→3
4：【答案】．【提示】因为BD＝2DC，所以AD＝AB＋AC
833
mλ＝，
3→→→→由于AP与AD共线，设AP＝mAD，则2m
μ＝，
3
???
11
于是2λ＝μ，又2λ＋3μ＝1，解得λ＝，μ＝，
843
所以λ＋μ＝．
8
5：【答案】2【提示】S2＝2a，
S4＝a1＋a3＋a2＋a4＝2a＋d＋a＋aq＝3a＋d＋aq， S6＝a1＋a3＋a5＋a2＋a4＋a6＝3a＋3d＋a＋aq＋aq2＝， 因为S2：S4：S6＝1：3：6，
所以(2a)：(3a＋d＋aq)：(4a＋3d＋aq＋aq2)＝1：3：6，
?d＋aq＝3a，即?所以2aq－aq2＝a． 2
?3d＋aq＋aq＝8a，
因为a≠0，所以2q－q2＝1即q＝1， d
所以d＝2a，从而＝2．
aq
6：【答案】2．【提示】设切线l1，l2的切点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＞x2，
313131
因为f′(x)＝－－2， 切线l1，l2平行，所以－－2＝－－2，因此有x1＝－
4x4x14x2
312312
x2＞0，切线l1，l2的方程分别为y＝(－－2)x＋，y＝(－－2)x＋，
4x1x14x2x2
22
|－|x1x2
＝
312
(－－2)＋14x1
425213x＋＋161x122
≤
4x1
于是l1，l2之间的距离d＝
312
(－－2)＋14x14
＝2， 53＋22
＝25
当且仅当x1＝时取等号，于是d的最大值为2．
5
7：【答案】
5
．【提示】设椭圆C的左焦点为F1，连接PF1，OQ， 3
因为Q为线段FP中点，O为线段F1F中点， 所以，PF1＝b，PF＝2a－b，
又OQ⊥PF，所以PF1⊥PF，因此PF12＋PF2＝F1F2，
所以b2＋(2a－b)2＝(2c)2，即b2＋(2a－b)2＝4(a2－b2)，
b25可得＝，所以e＝．
a33
t－x2222
8：【答案】[－，]．【提示】设x＋2y＝t，则y＝，代入x2＋2xy＋4y2＝1得：x2
332－tx＋t2－1＝0，
2323
则△＝t2－4(t2－1)≥0，解得－≤t≤．
33
【说明】注意利用方程有解，求参数的范围．这一方法在数列填空题中经常会用到，例如： 已知等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，且S2＋2，S3＋4，S4＋6成等
比数列，则公差d的最小值是 ．
转化为关于a1和d的方程，看作关于a1的方程有解，列出关于d的不等式即可，答案－1． 9：【答案】6．
→→→→【提示】设圆心为O，则OM·ON＝2，OA·OB＝－4，
→→→→→→于是AM·BN＝(OM－OA)·(ON－OB)
→→→→→→→→＝OM·ON＋OA·OB－OA·ON－OB·OM →→→→＝2－4－OA·ON＋OA·OM
→→ ＝－2－OA·MN
1→→ ＝－2＋AB·MN＝1
2→→所以AB·MN＝6．
【说明】本题考查的加减运算，数量积运算，体现了化归与转化的思想． 10．【答案】(2，32]．
→→ 【提示】设B(x0，y0)，根据AP＝2PB，可得A(3－2x0，3－2y0)， 1232r2
则有(1－2x0)＋(3－2y0)＝r，即(x0－)＋(y0－)＝，
224
2
2
2
r
又(x0－2)2＋y02＝r2，故有r－≤
213r
(2－)2＋()2≤r＋，解得：2≤r≤32，
222
易知点P(1，1)在圆(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)内，所以r＞2，
从而r∈(2，32]
【说明】一般的解析几何中存在性问题，要能有轨迹思想的意识，把存在性问题转化为
有解问题，注意几何与代数之间的相互转化．
D 11．【答案】4＋43． 【提示】设△BCD的面积为S，
1π
则S＝×4×BC×sin∠BCD＝2BCsin(∠ACD＋)
23
＝BCsin∠ACD＋3BCcos∠ACD 设∠ADC＝α，则
AC2
＝， sinαsin∠ACD
A C
B
于是ACsin∠ACD＝2sinα，即BCsin∠ACD＝2sinα，
AC2＋42－22AC2＋1222＋42－2×2×4cosα＋12
又BCcos∠ACD＝AC×＝＝＝4－
2AC×488π
2cosα，所以S＝2sinα＋3(4－2cosα)＝4sin(α－)＋43，
3
5π
从而S的最大值为4＋43，此时α＝．
6
【说明】本题考查正余弦定理及三角恒等变换，注意这类题容易设计成应用题，本题难
点在如何选择变量建立函数．
12．【答案】22－1．
【提示】由题意知：函数f (x)在区间[－1，0]上的最小值不小于函数f (x)在区间[k，k＋2]上的最大值．
k2＋(2－a)k＋4－ak＋2
结合函数f (x)的图像可知：对称轴x＝≥，对任意k＞0恒成立，
22k2＋k＋2k2＋k＋222
即a≤，对任意k＞0恒成立．因为＝k＋＝k＋1＋－1≥22－1，
k＋1k＋1k＋1k＋1k2＋k＋2
当且仅当k＝2－1时取等号，因此当k＞0时，的最小值为22－1，于是a≤22－
k＋11，所以a的最大值是22－1．
【说明】本题的题意为：函数f (x)在[－1，0]上的最小值不小于函数f (x)在[k，k＋2]上的
最大值．在这里不必去求最值，结合函数的图像，只要对称轴满足一定的条件即可．
1
13．【答案】ln3－．
3
【提示】在平面直角坐标系xOy中，分别作出y＝lnx及y＝a(x－2)＋b的图像，不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，即直线y＝a(x－2)＋b恒在曲线y＝lnx的上方．a＋b最小，即直线y＝a(x－2)＋b与x＝3交点的纵坐标最小．根据图像可知：a＋b的最小值为1
ln3，此时直线y＝a(x－2)＋b与曲线y＝lnx相切于点(3，ln3)，因此有：a＝，从而b＝ln3
31－． 3
35
14．【答案】a＞．
18
【提示】易得f'(x)＝3x2－a．
当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意． 当a＞0时，令f'(x)＝3x2－a＝0，解得x＝±易得函数f(x)在(－∞，－
单调递减，
在同一坐标系中，分别作出函数f (x)，g (x)的图像，根据图像可知：
当f(
零点；
当f(
2
f()≥0，32a)＜0时，要使得F(x)有三个不同的零点，则f()＜0或者
3a23
＜，33a)＞0时，F(x)有且仅有一个零点；当f(3
a)＝0时，F(x)有且仅有一个3
a)，(3
a， 3
a，3
a)上3
a，＋∞)上单调递增，在(－3
???
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