H03南京市2018届高三数学考前综合题~

南京市2018届高三数学考前综合题

一．填空题

1．已知l，m是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l∥α，l∥m，则m∥α；

②若l?α，m?β，α∥β，则l∥m； ③若l?α，m?β，l⊥m，则α⊥β； ④若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号）

2．已知函数f(x)＝3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 3．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2＝4y焦点的直线l交抛物线于M，N两点，若抛x2y2

物线在点M，N处的切线分别与双曲线C2：2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线平行，

ab则双曲线的离心率为 ．

→→→4．已知点P是△ABC内一点，满足AP＝λAB＋μAC，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D，BD＝2DC，则λ＋μ＝ ．

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，{a2n－1}是公差为d的等差数列，{a2n}是公比为q的等比d

数列，且a1＝a2＝a，S2：S4：S6＝1：3：6，则的值是 ．

aq

31

6．已知函数f(x)＝－x＋，若直线l1，l2是函数y＝f (x)图像的两条平行的切线，则直线l1，

4xx2y2

7．在平面直角坐标系xOy中，点P是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)上一点，F为椭圆C的右

abb2

焦点，直线FP与圆O：x＋y＝相切于点Q，若Q恰为线段FP的中点，则椭圆C的离

4

2

2

l2之间的距离的最大值是 ．

心率为 ．

8．实数x，y满足x2＋2xy＋4y2＝1，则x＋2y的取值范围是 ． →→9．已知AB＝4，点M，N是以AB为直径的半圆上的任意两点，且MN＝2，AM·BN→→＝1，则AB·MN＝ ．

→→A，B使得AP＝2PB，则r的取值范围是 ．

11．在平面四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，△ABC为等边三角形，则△BCD面积的最大值是 ． 12．已知函数f (x)＝x2－[k2＋(2－a)k＋4－a]x＋1，a，k∈R．对于任意k＞0有：任意x1∈[－1，0]，任意x2∈[k，k＋2]，f (x1)≥f (x2)成立，则a的最大值是 ．

13．已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，则当a＋b

取最小值时，b的值为 ．

?f (x)，f (x)≥g (x)，

14．已知函数f (x)＝x3－ax＋1，g (x)＝3x－2，若函数F(x)＝?有三个零

?g (x)，f (x)＜g (x)，

A B N

M 10．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1，1)，若圆M：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上存在两点

点，则实数a的取值范围是 ． 二．解答题

15．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f '(x)是f(x)的导函数．

（1）求函数F(x)＝f(x)f '(x)＋3f 2(x)的最大值和最小正周期；

π

（2）若f(x)＝2f '(x)，求sin(2x＋)的值．

4

→→·→16．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a＋c)→BC·BA＋cCACB＝0．

（1）求角B的大小；

→→（2）若b＝23，试求AB·CB的最小值．

17．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝2AP＝2，

P

PD＝3．

求证：（1）PA⊥平面PCD；

（2）求点C到平面PBD的距离．

A

D C B

18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，相距2千米，∠BAC＝30°．小船从A

点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．

（1）若v＝12，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）

能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；

（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m＜t)小时后，再游

泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．

19．某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h的圆柱体，上方是以圆柱上底面为大64π

圆的半径为r的半球体.设计要求，蓄水池总体积为m3，且h≥2r.经测算，上方半球形部

3分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y千元.

（1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当该蓄水池的总建造费用y最小时，求半径r的值.

h

r r

A 30° 岸边

B

C

20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至

100米的圆环面为第2区，…，50(n－1)米至50n米的圆环面为第n区，n∈N*，n≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n区减少2%，n∈N*．设第n区火山灰的总重量为an，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．

21．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝64，以O1(9，0)为圆心的圆记为圆O1，已知

圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21． （1）求圆O1的标准方程；

（2）求过点M(5，5)且与圆O1相切的直线的方程；

（3）已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得

d

的弦长分别为d，d1．若＝2，求证：直线l过定点．

d1

x2y2

22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，

ab

且两焦点F1，F2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形． （1）求椭圆的标准方程；

1

（2）已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为－，设l1，l2分别与椭圆交于点

2

A，B和C，D． ①求AB＋CD的值；

②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．

23．已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|，a∈R．

（1）当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程； （2）当x∈[－1，1]时，求函数f(x)的最小值；

（3）已知a＞0，且任意x≥1有f(x＋a)－f(1＋a)≥15a2lnx，求实数a的取值范围．

24．已知函数f(x)＝x－xlnx，g(x)＝

ax

，a∈R． 1＋x2（1）当a＞0时，求g(x)单调区间；

（2）若a＝2，设0＜n＜m＜1，证明：f(m)＞g(n)； （3）证明：关于x的方程f(x)＝g(x)有唯一的实数解．

25．设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意m，n∈N*，都有Smn＝SmSn，则称数列{an}具有性质P．

（1）若数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列{an}是否具有性质P； （2）若正项等差数列{bn}具有性质P，求数列{bn}的公差；

（3）已知正项数列{cn}具有性质P，c2＝3，且任意n∈N*，有cn＋cn＋2≤2cn＋1，求数列{cn}的通项公式．

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